周波数領域ゼロパディング-X [N / 2]の特別な処理

周波数領域でゼロパディングすることにより、偶数個のサンプル（たとえばN = 8）で周期信号を補間したいとします。

DFTにしましょうそれでは、X=[A,B,C,D,E,F,G,H]
16個のサンプルにパッドしてみましょうY。私が見たすべての教科書の例とオンラインのチュートリアルでは、与えるときにゼロを挿入します。（次に、補間された信号です。）[Y₄...Y₁₁]
Y=[2A,2B,2C,2D,0,0,0,0,0,0,0,0,2E,2F,2G,2H]
y = idft(Y)

代わりに使用しないのはなぜ Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E,2F,2G,2H]ですか？

私が知る限り（私の数学の知識は限られています）：

総電力を最小化します
xが実数値である場合、そうであることが保証されますy
yまだ交差するx全てのサンプル点では、必要に応じて（私は、これはすべてのために本当だと思うpところY=[2A,2B,2C,2D,pE,0,0,0,0,0,0,0,(2-p)E,2F,2G,2H]）

では、なぜこのように行われないのでしょうか？

編集：x必ずしも実数値または帯域制限ではありません。

dft interpolation zero-padding

— フィン
ソース

「すべての教科書の例とオンラインチュートリアルで挿入ゼロを確認しました...」と書いていますが、いくつかの参照を使用して投稿を更新できますか？好奇心が強いのは、xが必ずしも実数値であるとは限らず、最初に述べた構造は（一般に）逆DFTによって実際の結果を生成しないからです。

— ナイアレン

@niarenの例を次に示します。dspguru.com

— dsp

ためにためていることを指摘それの価値

実数することは、あなたはできるようにする必要があります

y

$y$

Y = [2 A, 2 B, 2 C, 2 D, E, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, E^{*}, 2 F, 2 G, 2 H]

$Y=[2A,2B,2C,2D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,2F,2G,2H]$ （つまり、ときに重複したE周波数ドメインベクトルの「負の周波数」の半分のために、あなたはそれを結合させるのに必要な時間領域でリアルされる信号は、共役対称DFTを持っている。。

— ジェイソン・R

@Jason R、入力信号が実数値の場合、Eもそうです[2A、2B、2C、2D、E、0,0,0,0,0,0,0、E、2F、2G、2H]この条件を満たす。入力が実数値でない場合、出力を実数値にする必要はありません。

— finnw

あなたは正しいです。それは私が夜遅くにコメントを書くために得るものです。

— ジェイソンR

回答:

8ポイントDFTのビンの周波数を見てみましょう。

だから、2倍に補間する場合、点「の周波数となるまたは。

\begin{matrix} ω_{A} = 0, \\ ω_{B} = π / 4, \\ ω_{C} = π / 2, \\ ω_{D} = 3 π / 4, \\ ω_{E} = π = - π (m o d 2 π), \\ ω_{F} = 5 π / 4 = - 3 π / 4 (m o d 2 π), \\ ω_{G} = 3 π / 2 = - π / 2 (m o d 2 π), \\ ω_{H} = 7 π / 4 = - π / 4 (m o d 2 π) \end{matrix}

$\begin{array}{c} \omega_A = 0,\\ \omega_B = \pi/4,\\ \omega_C = \pi/2,\\ \omega_D = 3\pi/4,\\ \omega_E = \pi = -\pi\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_F = 5\pi/4 = -3\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi),\\ \omega_G = 3\pi/2 = -\pi/2\ ({\tt mod}\ 2\pi), \\ \omega_H = 7\pi/4 = -\pi/4\ ({\tt mod}\ 2\pi) \end{array}$

E

$E$

- π

$-\pi$

+ π

$+ \pi$

一見、私はそれをするかどうかはっきりしていないなどの問題があなたのアプローチであるものを見ることができない関連付けられたビンに入れるべきであるまたは。 $E$ $\pi$ $-\pi$

上ジュリアスO.スミスIIIのページ、彼は条件を述べています：

さらに、が偶数の場合はが必要ですが、奇数ではそのような制限は必要ありません。 $x(N/2) = x(-N/2) = 0$ $N$

そして、彼の例は、問題を回避する奇数のがあります。 $N$

必要かどうかはわかりませんが、Juliusの作品の完全なリファレンスは次のとおりです。

Smith、JO Mathematics of the Discrete Fourier Transform（DFT）with Audio Applications、Second Edition、 http：//ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/、2007年、オンラインブック、2011年9月28日アクセス

— ピーターK.
ソース

データを補間するには多くの方法があります。私の考えでは、補間とは、いくつかのデータポイント間に線を「描く」ことを意味します。これには多くの方法があります。DSP（特にマルチレートDSP）で役立つ補間のタイプの1つは、「帯域制限補間」です。Googleを使用すると、多くの興味深いヒットが得られます。提案するのは、帯域制限された補間ではありません。「アップサンプリングされた」xには、元のxには存在しない周波数成分があります。

編集（長すぎてコメントに収まりません）：

で始まる構造と、提供するリファレンスの例にはかなりの違いがあります。 $X=[A,B,C,D,E,F,G,H]$

実際の入力を考慮する

$X=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

フルバンド入力の2倍のアップサンプリング。この場合、アップサンプリングは、入力の最初の載ゼロによって行うことが可能である（インターリーブ。結果の周波数スペクトルの圧縮されたバージョンを含む周波数スペクトルを有する信号です。 X（範囲で）とから延在画像（のみ正の周波数軸を考慮）x2はその後アップサンプリングバージョンである場合。 $x_0,0,x_1,0,...$ $0-\pi/2$ $\pi/2 - \pi$

$X2=[A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*,A,B,C,D,E,D^*,C^*,B^*]$

$\pi/2$

$y_n = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x2_k sinc(0.5n - k)$

しかし実際には、ブリックウォールフィルターは現実的ではないため、多少の歪みが生じます。実用的なフィルターは、入力の周波数を抑制/削除したり、アップサンプリングされた信号の画像の周波数成分の一部を残すことができます。または、フィルターは2つの間で妥協することができます。あなたの周波数領域の構造もこの妥協を反映していると思います。これらの2つの例は、2つの異なる選択肢を表しています。

$Y=[A,B,C,D,E,0,0,0,0,0,0,0,E^*,D^*,C^*,B^*]$

$Y=[A,B,C,D,0,0,0,0,0,0,0,0,0,D^*,C^*,B^*]$

If the input is bandlimited below the nyquist frequency as in your reference this issue disappears.

Maybe it is possible to find a value of $\rho$ below, such that some error function, for instance the squared error between the input spectrum and the upsampled output spectrum is minimum.

$Y=[A,B,C,D,\rho,0,0,0,0,0,0,0,\rho^*,D^*,C^*,B^*]$

— niaren
ソース

Sure it's bandlimited interpolation. What do you mean, frequency components not present in the original

x

$x$ ?

— leftaroundabout

@leftaroundabout The original x is bandlimited (in this example to the Nyquist frequency). OP wants to upsample x by a factor of 2 (my interpretation). One way to upsample x is to insert zeros in the frequency response as shown by OP (the example without E, the one shown in DSP text books) and do an inverse FFT. I believe the same could have been achived by inserting zeros (interleaved) in x and (low-pass) filter by a sinc. By inserting E as shown by OP, the upsampled x is not bandlimited to the original Nyquist frequency. This is typically not desired (it is distortion). Do you agree?

— niaren

Inserting zeroes interleaved and convoluting with a sinc (multiplied by 2) should indeed be the corresponding time-domain operation. — I don't think it's distortion: the two bins the OP put

E

$E$ s in represent both the same frequency,

\frac{π}{2} \sim \frac{- π}{2}

$\frac\pi2\sim\frac{-\pi}2$ .

— leftaroundabout

I am assuming the frequency ±N/2 is present in x. If it is not (due to bandlimiting or otherwise) then E would be 0 anyway so there would be no difference between padding with E (or 2E) and padding with 0.

— finnw

A bandlimited signal can still have content in bin N/2 due to "spectral leakage" from any non-periodic-in-DFT-aperture spectral content, especially near (but not at) Fs/2.

— hotpaw2