漏れやすい積分器はローパスフィルターと同じですか？

リーキーインテグレーターを支配する方程式（少なくともWikipediaによると）は

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$。

したがって、連続時間リーキー積分は、時定数ローパスフィルターと同じですが、入力のスケーリングまでは同じですか？$A$

いわゆるリーキーインテグレーターは、フィードバック付きの一次フィルターです。入力が$x(t)$で、出力がと仮定して、その伝達関数を見つけましょう。$y(t)$

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

ここで、はラプラス変換の適用を示します。前進：$\mathcal{L}$

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

（というラプラス変換のプロパティを利用して、と仮定））。Y（0）=$\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$$y(0) = 0$

伝達関数を持つこのシステムは、単一の極を持っています。周波数での周波数応答は、すると、次ようになります。S = - A ω S = J $H(s)$$s = -A$$\omega$$s=j\omega$

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

この応答の大まかなビューを取得するには、最初に。$\omega \to 0$

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

したがって、システムのDCゲインはフィードバック係数反比例します。次に、みましょう：w → $A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

したがって、システムの周波数応答は、高周波ではゼロになります。これは、ローパスフィルターの大まかなプロトタイプに従います。時定数に関する他の質問に答えるには、システムの時間領域応答を確認する価値があります。そのインパルス応答は、伝達関数を逆変換することによって見つけることができます。

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

ここで、はヘビサイドステップ関数です。これは非常に一般的な変換であり、ラプラス変換のテーブルでよく見られます。このインパルス応答は指数減衰関数であり、通常は次の形式で記述されます。$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

ここで、は関数の時定数になるように定義されています。したがって、例では、システムの時定数はです。τ = 1$\tau$$\tau = \frac{1}{A}$

周波数応答は同じですが、用途は異なります。

• ローパスフィルターを使用すると、信号は通過帯域内にあります。フィルターのカットオフ周波数は、信号に保持したい最高周波数より上に設定されています。
• 漏れやすい積分器を使用すると、信号は阻止帯域にあります。フィルターのカットオフ周波数が信号の最低周波数より低く設定されています。

また、積分器は常に1次ですが、ローパスフィルターは任意の次数にすることができます。