線形位相が重要なのはなぜですか？

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対称条件が満たされると、FIRフィルターの位相は線形になります。これは、IIRフィルターには当てはまりません。

ただし、このプロパティを持たないフィルターを適用するのはどのアプリケーションにとって悪いですか？また、悪影響は何ですか？

filters filter-design fir

— フェロモンキッド
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線形位相フィルターは、信号の波形または入力信号の成分を保存します（フィルターの作用により一部の周波数の振幅が変化する場合、可能な範囲で）。

これはいくつかのドメインで重要になる可能性があります。

コヒーレント信号処理および復調。受信信号が「1」を表すかどうかを判断するために、波形に対してしきい値決定を行う必要があるため、波形が重要です（直交空間で、多くのしきい値、たとえば128 QAM変調）。「または「0」。したがって、最初に送信された波形を保存または復元することが最も重要です。そうしないと、誤ったしきい値決定が行われ、通信システムでビットエラーが発生します。
レーダー信号処理。返されるレーダー信号の波形には、ターゲットの特性に関する重要な情報が含まれる場合があります
複雑な波形のさまざまなコンポーネントを「時間調整」することは、リスニングエクスペリエンスの微妙な品質（「ステレオイメージ」など）を再現または維持するために重要であると考える（重要性に異議を唱える人も多い）オーディオ処理

— AndyW
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（ABXリスニングテストを行って、シミュレートされた8次のLinkwitz-Rileyクロスオーバーとなしを区別することができました。高音が低音よりも少し早く到着するため、衝撃音が「くっきり」します。＃3は完全ではありません遠いフェッチ）

— 。-エンドリス

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言うまでもなく、波形保存プロパティは狭帯域信号にのみ適用可能です...それ以外の場合（一般的な広帯域信号の場合）、フィルターは（線形位相かどうかに関係なく）インパルス応答が信号と畳み込まれる限り信号形状を変更します。。

— FAT32

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すでに与えられた素晴らしい答えに次の図を追加しましょう。

フィルターの位相が線形である場合、その信号内のすべての周波数は同じ時間だけ遅延します（Fat32の答えで数学的に説明されています）。

任意の信号を（フーリエ級数を介して）個別の周波数成分に分解できます。信号がいずれかのチャネル（フィルターなど）を介して遅延する場合、それらのすべての周波数成分が同じ量だけ遅延する限り、遅延後に同じ信号（チャネルの通過帯域内の対象信号）が再作成されます。

方形波を考えてみましょう。これは、フーリエ級数展開を通して、無限の数の奇数の高調波周波数で構成されていることが示されています。

上の図では、最初の3つのコンポーネントの合計を示しています。これらのコンポーネントがすべて同じ量だけ遅延している場合、これらのコンポーネントを合計しても対象の波形はそのままです。ただし、各周波数成分が異なる時間だけ遅れると、大きなグループ遅延歪みが生じます。

以下は、RFやアナログのバックグラウンドを持っている人に直感的な洞察を与えるのに役立ちます。

理想的なロスレスブロードバンド遅延ライン（同軸ケーブルの長さで近似されるような）を考えてみてください。これは、歪みなく広帯域信号を渡すことができます。

このようなケーブルの伝達関数は、下の図に示されています。すべての周波数に対して1の大きさを持ち、周波数に正比例して位相が負に増加します。ケーブルが長くなると、位相の勾配が急になりますが、すべての場合で「線形位相」です。

意味あり; 1秒の遅延でケーブルを通過する1 Hzの信号の位相遅延は360°になり、同じ遅延の2 Hzの信号は720°になります。

これをデジタル世界に戻すと、 $z^{-1}$ は1サンプル遅延（したがって遅延線）のz変換であり、示されているものと同様の周波数応答で、H（z）だけで表されます。直線的になり、一定の大きさ= 1とフェーズ $0$ へ $-2\pi$ F = FS（サンプリングレート）にF = 0ヘルツから。

最も簡単な数学的説明は、周波数と一定の遅延で線形である位相はフーリエ変換ペアであるということです。これは、フーリエ変換のシフトプロパティです。時間的に一定の時間遅延 $\tau$ 周波数における線形位相の秒結果 $-\omega \tau$ 、 $\omega$ ラジアン/秒の角周波数軸です。

F {g (t - τ)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (t - τ) e^{j ω t} d t

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

u = t - τ

$u = t - \tau$

F {g (u)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω (u + τ)} d u

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

= e^{- j ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω u} d u

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

= e^{- j ω τ} G (j ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

— ダン・ボスチェン
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ダン、あなたの幸せそうな顔と悲しい顔のグラフは、それがどれほど簡単に有益であるかを大声で笑わせました！よくできました！

— オレオ

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すでに述べたことに追加するために、単調に増加する周波数で次の正弦波を見ると、これを直感的に見ることができます。

この信号を右または左にシフトすると、その位相が変わります。ただし、位相変化は、高い周波数では大きくなり、低い周波数では小さくなることに注意してください。言い換えれば、位相は周波数とともに直線的に増加します。したがって、一定の時間シフトは、周波数領域での線形位相変化に対応します。

— オロドベン
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ベストアンサーimo。

— フェリックスクラッツォララ

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τ （ ω ） = - \frac{d ϕ （ ω ）}{d ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

$n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ $\omega$ $K(w)$

次に、入力信号に対する非線形位相（または周波数依存の群遅延）を持つフィルターの効果は何ですか？簡単な例は、異なる中心周波数での複数のウェーブパケットの合計と見なされる複雑な入力信号です。フィルタリング後、特定の中心周波数を持つ各パケットは、通信端末になります。複合波形だけでなく、一部のイベント順序も失われる可能性があります。この種の分散チャネルは、送信データにISI（シンボル間干渉）などの深刻な影響を及ぼします。周波数依存のグループ遅延により異なる方法でシフト（遅延）されます。そして、これはそれらの波のパケットの時間順序（または空間順序）の変化をもたらし、時には劇的に、位相がどの程度非線形であるかに応じて、分散と呼ばれます

したがって、線形位相フィルターのこの特性は、特に狭帯域信号に適用可能な波形保存特性とも呼ばれます。上記のISI以外の波形が重要な例は、画像の明瞭性のために、フーリエ変換の位相情報がフーリエ変換の大きさと比較して最も重要な画像の処理です。しかし、刺激に対する耳の感受性の種類が異なるため、同じことが音声信号の知覚には言えません。

— Fat32
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この文脈で一般化線形位相とはどういう意味ですか？

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@ 0MW ヒルベルト変換のように、一定の位相シフトも許可されることを意味すると思います。

— オリーニーミタロ

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この質問に対する答えは、以前の回答ですでに明確に説明されています。それでも、私は同じものの数学的解釈を提示する試みを与えたい

周波数応答が以下によって支配される線形時不変システムを考えます。 $H(w)$ 。

すなわち、このシステムへの入力が $e^{jw_{0}t}$ 出力は $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

ここに $H(w_{0})$ はで表される位相成分を持つ複素数です $arg(H(w))$ および振幅成分 $|H(w)|$

システムに線形位相応答がある場合

a r g （ H （ w ） ） = K w

$arg(H(w)) = Kw$ どこ

K

$K$ 定数です

位相が線形の場合、入力に対するシステムの出力 $e^{jw_{0}t}$ なります

y （ t ） = | H （ w ） | * e^{j w_{0} t + j K w_{0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

= | H （ w ） | * e^{j w_{0} （ t + K ）}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$ これは、スケーリングが適用された入力の遅延バージョンにすぎません。

そのため、位相が線形の場合、信号のすべての周波数成分は、時間領域で同じ量の遅延を受け、形状が保持されます。

— SakSath
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上記のこれらの素晴らしい答えの要約を掲載します。

時間領域で信号をシフトすると、周波数に比例した位相シフトが生じるため、f（t + dt）はF（f）e（j2πfdt）になります。
線形位相応答を備えたフィルタがこのフィルタへの入力信号のすべての周波数を時間領域で同じ量でシフトする場合、これにより入力信号の再現性が実現します。

— ユセフ・ラファア
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