FIRフィルターに必要なタップ数は？

ローパスフィルターを実装するためのFIRフィルターのセットを設計したいと考えています。また、フィルターを通過する信号の遅延を削減しようとしているので、使用できるタップの最小数はどのくらいかと思います。

タップを増やすと、周波数のカットオフがよりシャープになり、阻止帯域除去などが改善されることがわかっています。しかし、興味があるのはより基本的です-は、低周波信号を減衰させるために少なくとも100タップが必要であることを意味していますか？または、より少ないタップで逃げることができますか？そうであれば、理論的な下限がありますか？$\frac{f_s}{100}$

Bellangerの古典的な信号のデジタル処理–理論と実践を引用すると、ポイントはカットオフ周波数がどこにあるかではなく、必要な減衰量、保持する信号のリップル量、および最も重要な方法です。パスバンドからストップバンドへの遷移を狭める（遷移幅）必要があります。

線形位相フィルターが必要であると仮定します（最小レイテンシーを指定しますが、一般的に、後から信号で何をしようとしているかをよく知っていない限り、最小位相フィルターは良いアイデアとは思いません） 。その場合、フィルター次数（タップの数）は

$$N\approx \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \delta_1\delta_2}\right]\,\frac{f_s}{\Delta f}$$

と

$$\begin{align} f_s &\text{ the sampling rate}\\ \Delta f& \text{ the transition width,}\\ & \text{ ie. the difference between end of pass band and start of stop band}\\ \delta_1 &\text{ the ripple in passband,}\\ &\text{ ie. "how much of the original amplitude can you afford to vary"}\\ \delta_2 &\text{ the suppresion in the stop band}. \end{align}$$

いくつかの数字をプラグインしましょう！カットオフ周波数を指定したので、先に進み、遷移幅がその半分以下になると主張します。したがって、。$\frac{f_s}{100}$$\Delta f=\frac{f_s}{200}$

SDR / RFテクノロジーの場合、通常60 dBの抑制で十分です。ハードウェアは、必要以上のコストをかけずに入力から不要な信号を排除するので、CPUを無駄にせずにすみます。ハードウェアでできることよりも。したがって、$\delta_2 = -60\text{ dB} = 10^{-3}$。

通過帯域で0.1％の振幅変動で生きることができるとしましょう（より多く生きることができる場合、抑制要件をより厳しくしないことも検討してください）。のは、$\delta_1 = 10^{-4}$。

だから、これを差し込む：

$$\begin{align} N_\text{Tommy's filter} &\approx \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \delta_1\delta_2}\right]\,\frac{f_s}{\Delta f}\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \cdot 10^{-4}\cdot10^{-3}}\right]\,\frac{f_s}{\frac{f_s}{200}}\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10 \cdot 10^{-7}}\right]\,200\\ &= \frac 23 \log_{10} \left[\frac1{10^{-6}}\right]\,200\\ &= \frac 23 \left(\log_{10} 10^6\right) \,200\\ &= \frac 23 \cdot 6 \cdot 200\\ &= 800\text{ .} \end{align}$$

だからあなたの200回のタップで、あなたは、遠くている場合に限っ私はあなたが希望仮定のように、あなたのフィルターに非常に狭い通過帯域を使用します。

これは問題である必要はないことに注意してください。まず、800タップフィルターは恐ろしいですが、率直に言って、一見しただけです。

• StackOverflowでこの回答でテストしたように、CPU最適化されたFIR実装を使用すると、CPUの速度が速くなります。たとえば、私はGNU Radioの FFT-FIR実装を使用し、上記のフィルター仕様の概要をそのまま使用しました。1秒あたり1億4100万サンプルのパフォーマンスが得られました。それで十分かもしれません。質問固有のテストケースを次に示します（作成に数秒かかりました）。
• $M$$M$$M=50$$\frac{1200}{50}= 24$
• $96\,\frac{\text{kS}}{\text{s}}\overset{\text{ridiculously}}{\ll}141\,\frac{\text{MS}}{\text{s}}$
• $\frac1{100}$

迅速で非常に実用的な見積もりの​​ために、私はフレッド・ハリスの経験則が好きです：

$$N_{taps} = \frac{Atten}{22*B_T}$$

ここで：

Attenは、dB単位の希望する減衰です。

$B_T$$B_T=\frac{F_{stop}- F_{pass}}{F_s}$

$F_{stop}$$F_{pass}$

$F_s$

これは、通過帯域リップルが0.1 dBの線形位相フィルターで得られる結果に非常に近い結果になります。私はこの経験則を頻繁に使用して、必要なタップ数の最初のアイデアを取得し、フィルター設計プロセスの反復を通じて修正します。

また、この経験則は、実際にタップ数を駆動するものに関する優れた洞察を提供します：ストップバンド減衰と遷移帯域の急峻さ（および通過帯域リップル、しかし通常、少なくとも私が設計しなければならなかったフィルターの場合）ワイヤレス通信アプリケーション-減衰要件がリップルよりも優先されます）。そのため、Fs / 100でのカットオフを述べる際の質問には、ストップバンドに移行するのに必要な速さが欠けています。

$F_s$$F_{pass}$$F_{stop}$

$N_{taps} = \frac{60}{22*2/100}=137$

これらの数値をいじってみると、デシメーションアプローチを使用して処理を削減することの重要性を示すこともできます。

受け入れられた答えに加えて、いくつかの追加の参照。関与する可能性のある式は書きません。これらの式の大部分は、経験則または近似値から始まります。実際の設計のためにこれらの数値をいじることができます。

Bellangerの設計の起源の1つは、デジタルフィルターの計算の複雑さ、1981年、Proc。ユーロ。確認 回路理論設計、M。ベランジャー。入手は非常に困難ですが、実行可能です。興味深いことに、係数ごとのビット数を評価するための式も指定します。これは、有限演算の実装で考慮する必要があります。フランス語でよりアクセスしやすいバージョンは次のとおりです：1982年のfiltresnumériquesの複雑さの評価

他のいくつかの式は、有限インパルス応答フィルター設計、デジタル信号処理ハンドブック、1993、T。Samamakiにまとめられています。

最近では、最適なFIRデジタルフィルターの最小フィルター長の正確な推定、2000、K。Ichige et al。

最後に、2014年のl0ノルム最適化を使用した最小フィルター次数のFIRフィルターの効率的な設計は、次数が徐々に減少する設計を主張しています。

$$\text{minimize} \ \text{max}\left(\left| H(\omega) \right|\right) \text{for all } \omega \text{ in the stopband}$$ $$\text{subject to} \frac{1}{\delta} \leq \left| H(\omega) \right| \leq \delta \text{ for all } \omega \text{ in the passband}$$

私が考えることができる主な実際的な問題は、最適化を行うときに使用される周波数サンプルの数です。周波数間サンプルの動作は望ましくない効果を引き起こす可能性があるためです。フィットがどれだけ良くなるかは、もちろんタップの数に依存します。タップの最小数は、問題が実行不可能になったときと言えると思います。したがって、1つの解決策は、実行可能性の問題を解決することです。