Abs（poles）<1安定フィルターのマージン

希望する周​​波数応答のミニマックス近似であるデジタルフィルターを設計するために使用される最近のアルゴリズムについて、文献を調べました。私が見つけたすべての記事は、すべての極の大きさが0.92未満または0.89未満の例を示しています。フィルターが倍精度の機械演算で実装されている場合、極が有効なフィルターを取得するために単位円にどれだけ近づくことができますか？マグニチュード0.95の極を持つことは悪い考えでしょうか？

それはおそらくフィルターの次数に依存しますが、位置に極があります $z_p$ どこ $|z_p| = 0.95$ 妥当な長さのフィルターで倍精度浮動小数点演算を使用している場合、安定性の問題は発生しません。

あなたの特定のアプリケーションについては何も知りませんので、関連するかもしれない極の大きさのもう1つの影響は、結果として生じるフィルターのインパルス応答です。システムの伝達関数の極は、システムのインパルス応答の減衰する指数項に対応することを思い出してください。ウィキペディアが注記しているように：

どこ $u[n]$ある離散的な単位ステップ関数のインパルス応答は（因果的であることを表現するためにここで使用されます、$0\ \forall\ n < 0$）。したがって、フィルターに極がある場合$z = a$、次に対応する $a^n$ フィルターのインパルス応答の項。

• 小さい $|a|$、この用語は比較的少数のサンプルで減衰します。なので$|a| \rightarrow 1$、指数関数が減衰するのに必要な時間（サンプルで測定）が増加します。

• 「非常に安定した」ポイントに達したとき $|a| = 1$、指数関数が減衰することはなく、システムのインパルス応答はゼロに減衰しません。

• もし $|a| > 1$（すなわち、極は単位円の外側にあります）、それから指数関数は発散し、インパルス応答は無限大に爆破します。これが、単位円の外側に極を含む場合、離散時間システムがBIBOで安定しない理由です。

上記の場合、もう1つの懸念事項は、フィルターのインパルス応答の全体的な有効時間です。IIRフィルターは、その名前が示すように、理論的には無限の長さのインパルス応答を持っていますが、実際には、有限時間後に応答は通常無視できるレベルまで減衰します。アプリケーションがこの特性の影響を受けやすい場合は、単位円からさらに離れた極の位置を選択することは理にかなっています。しばしば望まれるように、単位円の近くに極を配置すると遷移領域をよりシャープでより狭くするのに役立つため、周波数領域特性には対応するトレードオフがあります。