複雑な零点/極の意味は何ですか？

私は信号処理と制御をここしばらく研究しており、ラプラス変換とフーリエ変換をほぼ毎日使用しています。また、ナイキストまたはボード線図などの別のツール。

しかし、今日までこれについて考えたことはありませんでした。周波数を処理するときの複素数の物理的な意味は何ですか？

これはばかげているように聞こえるかもしれませんが、私はこの質問をされました。たとえば、フーリエ変換やボード線図またはナイキスト線図でだけでなく、について話すのはなぜですか？ラプラスドメインの零点または極の実数部と虚数部の物理的な感覚は何ですか？$j\omega$$\omega$

私たちは通常、信号/システムのラプラス変換にも関心があるが、周波数応答について話したい場合に、について話します。$j\omega$

虚数部の物理的な意味は、純粋な正弦波信号を指し、一定の「振幅」です。実際の部分は、「振幅」が指数関数的に減衰または増大する信号を指します。

零点/極と周波数応答の関係を理解し始めたと思います。アイデアは、周波数領域の基底関数の周波数と減衰の速度をに一致するように調整することです。つまり、零点/極は、単一の円の外側の振幅を持つ複素数であり、周波数を調整して、複素数平面の単一の円に沿って複素数ベクトルを移動しますが、それを作成できる周波数はありません。たとえば、またはと同じです。したがって、基底関数はように見える必要があります$w$$e^{jwn}$$z_{zero/pole}$$e^{-jw}$$z=2$$z=j/3$$e^{(k-jw)n}$複素平面の任意の極/零点に到達する。フーリエ基底 -jwは任意の信号を表すことができると聞いたので興味深いですが、不十分であり、フィルター設計でラプラス基底が必要です。$e^{-jw}$$e^{(k-jw)n}$

純粋な実数は、それに一致する「複素指数」に虚数成分がないことを意味します。零点/極に応答するためには、ように振動せずに減衰する必要があります。たとえば、で極をとります。もしシステム有しように極は周波数対応します。実際、場合、無限に成長するになります。振動させる、つまり設定すると、場合、最初に蓄積されるため、成長が$z$$e^{kn}$$z=1$$y_n - y_{n-1} = x_n + x_{n-1} + \ldots$$Y(z) = X(z)/(1-z).$$z = e^{-jw} =1$$w=0$$x_n=1$$y_n = y_{n-1} + 1$$w \neq 1$$x_n=2cos(wn) = e^{jwn} +e^{-jwn}> 0$次に、正弦期間の後半の間に、累積をゼロに減らします。これは、架空の極が振動関数（入力信号の成分）に対して無限応答を与えることを示唆しています。

システムがある場合、入力にデルタインパルスを適用することにより、極関数を簡単に取得できます。観測された応答は極です。つまり、応答は減衰する指数です。すべてのクロックは、以前の値の倍です。これ（極、つまりフィードバック係数、したがって応答関数）は一般的で複雑であり、応答が振動することに注意してください。複素数を別の数で乗算すると、その数は長さがスケーリングされ、位相がシフトします。複雑な部分は、位相シフト（振動）の原因です。$y_n=ay_{n-1}$$y_n = e^{k-jw}n=a^n$$a = e^{k-jw}=e^ke^{-jw}$

システム理論から、振動は実際には2次システムを表すことを覚えています。おそらく、これは私の転流セルの質問に答えるでしょう。アイデアは、最初のレベルで他のレベルの増分を制御し、他のレベルで最初のレベルの増分を制御する場合です。たとえば、高調波発振器の電気インダクターとコンデンサーのように、

$$\begin{cases} \dot{u} & = &i\\ \dot{i} & = &-u\\ \end{cases}$$

に展開できるため、2次システムです。有名なばねのオシレーター方程式：位置が加速度を負に制御します。したがって、2つの純粋に実際の状態変数（別名アキュムレータ）は振動します。複素平面も同じ2つの変数である2つの軸で構成されていることがわかります。すべてのエネルギーが最初のアキュムレータに集中すると、1 + 0j状態になり、途中で反対の状態= 0 + 1jになります。次に、2番目のアキュムレータがエネルギーを後方に押します。state3= -1 + 0j最初にstate4 = 0-jに入り、プロセスが繰り返されます。これらは、複素平面の単位円に沿って移動し、調和振動を模倣する4四半期です。したがって、おそらく、を次のように分割できます。$\ddot{u} = \dot{i} = -u$$1/(1-(a+jb)z)$$1/(1-r_0z)\cdot 1/(1-r_1z)$と実際のおよび。$r_0$$r_1$

待ってください、単一のを分解することはできません。また、複素極は常に共役ペアになることを思い出します。つまり、極（a + jb）がある場合、（a-jb）も持っています。私が理解しているように、フィードバック（a + jb）はシステムがとして進化し、位相が回転するため、これは実際の入力が与えられると、出力を純粋に現実にするのに役立ちます一方の方向はで位相を反対方向に回転させ、それらの合計はは純粋に現実のものです。上記のシステムには、解。おそらくあなたはすでにこれを理解しています。私はあなたの質問を拡大しました。$z$$z^2$$(a+jb)^n = e^{(k+jw)n}$

$$(a-jb)^n = e^{(k-jw)n}$$ $e^{kn}(e^{jw}+e^{-jw})^n$$x_{n+1}=-x_{n-1}$$X(z)=(x_0+zx_1)/(1+z^2)=(x_0+zx_1)/[(1+jz)(1-jz)]$

伝達関数は、シーケンスます。「隠れた変数」が存在する必要があります（そうです、極の複雑性がQMで必要な虚数の必要性と同じである場合、興味深いです。位置と運動量は、互いに90度回転した、複雑な共役であり、 1つがわかっていれば、もう1つは計算できます）状態が0の後で1または-1に移動するかどうかを覚えておくための隠し変数。複素共役は、一種の補完的な直交アキュムレータでありながら、コンデンサ電圧のインダクタ電流などの実際の変数であり、それを追跡し続けます。純粋な実際の電圧振動を得るために2つの補完が必要な理由と、単一の複雑な振動の意味を誰かが明確にするための質問に参加します。$1/(1+z^2)$$\{1,0,-1,0,1,0,\ldots\}$

私はそれをこのように見ています（上記のLC発振器の場合）

$$\begin{bmatrix}\text{state} &\text{description}& \text{capacitor [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0&\text{all energy is in the capacitor} & 1 + 0j & 0 + j \\ 1&\text{all energy is in the inductor} & 0 + j & 1 + 0 \\ 2&\text{all energy is negaitvely charged cap} & -1 + 0 & 0 + -j \\ 3&\text{all energy is negative current} & 0 + -j & -1 + 0 \\ \end{bmatrix}$$

つまり、架空の電圧は、並列基準系での実際の電流、つまりインダクターの観点から見たものです。先ほどお伝えしたように、LTI状態は現在の状態に固有値を掛けて進化するため、単位円上で1と-1の間で振動するはずです。これはj中間状態を意味します。しかし、架空の空間で節約されたエネルギーと見なすものは、たまたま単なる別の蓄電池です。共役アキュムレータは、もう1つのアキュムレータです。どういうわけか、私が転流セルで説明しようとしたように、それはたまたま共役種である。

再び逸脱するようです。調和振動は、2つの複素極とによって作成された2つの進化の重ね合わせであるため、共役変数ごとに2つの列が必要です。これが欠けている部分です$j$$-j$

$$\begin{bmatrix}\text{state} & \text{capacitor -j [V]} & \text{inductor [I]} \\ 0& 1 & 0 j \\ 1& 0 - j & -1 \\ 2& -1 + 0 & -j \\ 3& 0 + j & +1 \\ \end{bmatrix}$$

コンデンサーの電圧は、2つのコンデンサー列の平均である実際の値です。反対の回転を処理するtoは、虚数成分をキャンセルします。実際、電流は一方向に流れますが、任意の方向を受け入れ、それを抽象化して平均化します。したがって、極のみは、具体的なプロセス、つまり一方向または他方向の電流の流れを表します。そして、もしあなたが複素極とは何かを尋ねるなら、答えは、それが離散領域にいるならベクトル[電流、電圧]がクロックごとにスケーリングされるファクターであるということです（あるいは、は連続領域にあります）実数係数はそれらの振幅を表し、複素数係数の実数部$(j^n + (-j)^n)/2 = \cos (n\pi/2)$$\ddot(x)=-x$$cos w$$e^{jw}$電圧の進化を意味し、虚数部は電流の進化を意味します。電圧の観点から見ると、電流は虚数です。です。対照的に、電圧は架空の電流であり、現在の基準座標系からの電流は実数です。うまくいけば、これは正しく、誰でもそれをよりよく説明できます。$sin w$$\ddot{v}=-v$$\ddot{i}=-i$

ラプラス変換は、回路の動作を予測するために使用できます。ラプラス変換の時間領域の関数取り、そして関数に変換してに -domain。あなたはラプラス変換表示することができますの多項式の比として -domain。これらの多項式の実数および複素数の根（極）を見つけると、波形がどのようになるかについての一般的な考えを得ることができます。$f(t)$$F(s)$$s$$F(s)$$s$$f(t)$

たとえば、この表に示すように、根が実数の場合、波形は指数関数的です。架空のものであれば、サインとコサインの組み合わせです。そして、それらが複雑であれば、それは減衰正弦波です。

これはすべて、オイラーの公式とフーリエ級数の定義から来ています。これは、（波のような）関数を単純な正弦波の和として表す方法です。

1つの答えは非常に簡単です。情報です。

AC信号は、単一の数値では単純に定量化できません。2つの100Hz 1V信号を合計すると、位相に応じて0〜2の間の値が得られます。複素数は、常に2つの情報を「持ち運ぶ」ことでこの問題を解決します。

極と零点は似ています-それらの頻度はあなたにすべてを伝えません。2つのRCフィルターは2つの極を作成します。LCフィルターは2つの極を作成します。しかし、それらは等しくありません。複素数は、違いを説明する情報を運ぶことができます。

あなたの理論上のポイント。負の周波数の平方根をとってみてください、それはあなたを奇妙な場所に連れて行きます。

約300年前、という変数を導入する必要がありました$j$

それにもかかわらず、ラプラス変換は、時間領域信号を領域に変換します。ここで、$s$

$$s=\sigma+j\omega$$

ここで、フーリエ変換として、周波数領域$j\omega$