連続関数のサンプリング：クロネッカーまたはディラックのデルタ？

私はシグナル処理でいくつかの論文を読んでおり、質問のタイトルの問題について非常に混乱しています。時間の連続関数考える、不均一な時間でIサンプルがこと、、ここで。私にとって、サンプリングされた関数は次のとおりです：ここで、はクロネッカーのデルタです（場合は、その他の場合はゼロ）。ただし、このペーパーでは、著者はサンプリングされた信号を次のように定義しますここで $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$

f_{s} （ t ） = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t 、 t_{k}} f （ t ） 、 （ 1 ）

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

f_{s} （ t ） = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f （ t ） δ （ t - t_{k} ） 、 （ 2 ）

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$ はディラックのデルタ関数であり、ここにが表示される理由は本当にません（著者はサンプリング関数は実際にデルタ関数加重和ここで彼はを選択しました。理由を理解してください）。この最後のステートメントは私にはあまり意味がありません：サンプリングされた信号は、

で無限の振幅を

ます！

1 / N

$1/N$

s （ t ） = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ （ t - t_{k} ）}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}} 、

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

これにもかかわらず、2番目のケース（式）でフーリエ変換を定義する方がはるかに簡単です。これは、ウィンドウ関数（DiracコムのFT）と連続信号のFTですが、方程式では、連続関数（）を乗算した整数関数（クロネッカーのデルタ）があるため、FTはもう少し複雑です。これに関するハイライトはありますか？ $f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— ネスター
ソース

連続時間信号と一連のディラックインパルスの乗算によるサンプリングプロセスのモデリングは、私の経験で最も一般的な解釈です。深く掘り下げてみると、このアプローチの数学的精度*について多少の不一致が見つかるでしょうが、私は心配しません。これはプロセスにとって便利なモデルにすぎません。携帯電話のADCには、アナログ入力を増加させる周期的な稲妻を生成するインパルスジェネレーターはありません。

既に述べたように、クロネッカーデルタ関数の連続時間フーリエ変換は、ドメインが連続的ではないため（整数に制限されているため）計算できません。対照的に、ディラックデルタ関数は単純なフーリエ変換を持ち、ディラックインパルス列で信号を乗算する効果は、そのふるい特性のために簡単に表示されます。

*：例として、数学的に正確にする場合、Dirac deltaは関数ではなく、分布であると言います。しかし、エンジニアリングレベルでは、これらの問題は本当に意味論にすぎません。

編集：以下のコメントに対処します。サンプリングプロセスのメンタルモデルを次のように指定しました。

f_{s} （ t ） = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f （ t ） δ （ t - t_{k} ） d t 。

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

この解釈の問題は、典型的な理想的なサンプリングモデルにはその統合が組み込まれていないことです。代わりに、入力信号とディラックインパルス列との純粋な乗算です。について示した式をさらに詳しく見ると、右側には実際には独立変数がないことがわかります。は、積分のダミー変数です。以下のための任意の以上で、に従ってディラックインパルスのふるい分け財産、あなたが得るでしょう： $f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} （ t ） = \sum_{k = 1}^{N} f （ t_{k} ） 、

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

それは正しくありません。代わりに、サンプリングされた信号のモデルは次のとおりです。

f_{s} （ t ） = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f （ t ） δ （ t - k T ）

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

上記と非常に似ていますが、時間軸に沿って無限に長いインパルス列を一般化し、データが時刻で均一にサンプリングされると仮定しています。結果の信号のフーリエ変換は次のとおりです。 $t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} （ ω ） & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} （ t ） e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f （ t ） δ （ t - k T ） e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f （ t ） δ （ t - k T ） e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f （ k T ） e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

我々は離散を定義する信号の、サンプリングされたバージョンの場合なるように、あなたが残されています。 $f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} （ ω ） = \sum_{n = - \infty}^{\infty} バツ [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

これはまさに離散時間フーリエ変換の定義です。

— ジェイソンR
ソース

振幅が「無限」であるという事実にどのように対処しますか？私が通常考えているのは、実際には離散時間で信号を「サンプリング」するのではなく、与えられた時間信号を積分することです。ただし、この解釈は、クロネッカーデルタと同じ理由で、フーリエ変換の計算のどの形式にも違反します。また...リンクの論文の著者がディラックの櫛を割るのはなぜですか？それは私には意味がありません。

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

— ネスター

実際には、あなたは正しい。ADCのアナログフロントエンドの帯域幅は有限であるため、アナログ信号には常に有効な「積分時間」があります。ただし、理論上の構成はこのような懸念に制限されません。大まかに言って、インパルスの「無限の高さ」は、「ゼロ幅」によってバランスがとられており、それが一体となって統合されます。この場合に短時間積分の解釈を適用すると（インパルスで乗算し、無限に短い時間の積分）、ふるい分けプロパティにより、通常のようにが得られます提示された。

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$

— ジェイソンR

ええ、しかし、私の懸念は解釈にあるのではなく、それをフーリエ変換することです。私たちが話しているサンプリングプロセスを次のように書くと仮定します：それをどのようにフーリエ変換しますか？ときのトリックは知っていますが、それは私にはあまり意味がありません（そしてFTを行うのはさらに難しいです！）。それが方法であると仮定しても、ロバーツらの論文と同じ窓関数は得られません。私が引用したこと。そして、私は...は私にとって意味をなさないと主張します。

f_{s} （ t ） = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f （ t ） δ （ t - t_{k} ） d t 、

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

— ネスター

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$