位相シフトフィルターの設計

時間領域信号に鋭い角がある場合、その周波数スペクトルには高周波成分が含まれます。スペクトルを切り捨てると、ギブス現象が発生します。したがって、FIRを設計しようとしている場合、インパルス応答を有限の長さまでウィンドウ処理しても周波数応答が大きく歪まないように、ターゲットの周波数応答を適切かつ滑らかにする必要があります。

現在、私は非常に奇妙なフィルターを設計しようと考えています。すべての周波数でユニットゲインがあるが、位相がゼロではないフィルター。同様の現象が発生するかどうか疑問に思っています。フィルターにすべての周波数でユニットゲインがある場合、位相整合に対してインパルス応答を打ち切るとどうなりますか？

filter-design

— 数学オーキッド
ソース

余談ですが、このタイプのフィルターはオールパスフィルターと呼ばれます。ヒルベルトフィルタはその実用的な例である。

— DEVE

実際、これは「非常に奇妙な」タイプのフィルターではありません。新しいオールパスフィルターを設計する場合、インパルス応答を切り捨てるのはなぜですか？設計時にデジタルフィルターの正確な応答（数値精度まで）を計算できます。

— Jason R

スペクトルを切り捨てると、ギブス現象ではなくリンギングが発生します。それらは違うものです。

— フォノン2012

@フォノン、私は効果がどのように違うのかわかりません。ジャンプの不連続が発生するドメイン（時間/周波数）に関係なく、他のドメインでは無限に長い影響が発生します。

— Mark Borgerding 2012

@MarkBorgerdingあなたの言っていることは完全に正しいですが、ギブス現象はそうではありません。ギブス現象は、フーリエ級数が矩形波に「収束」したときの不連続点での波形の単一点のピークを指します。つまり、矩形波は

1

$1$ に

0

$0$ 、しかしから

1

$1$ に

k > 1

$k>1$ 0に

— フォノン

回答:

これはオールパスフィルターになります。ユニティおよび整数サンプル遅延の自明なケースを除いて、これらはFIRフィルターとして実行できず、一般にIIRフィルターが必要です。ただし、作成は簡単です。オールパスのゼロは、単に極の反転です（逆も同様です）。多項式形式の極がある場合は、単純にそれらを反転してゼロ多項式を取得できます。たとえば、2次のオールパスは次のようになります。

H (z) = \frac{a_{2} \cdot z^{0} + a_{1} \cdot z^{- 1} + a_{0} \cdot z^{- 2}}{a_{0} \cdot z^{0} + a_{1} \cdot z^{- 1} + a_{2} \cdot z^{- 2}}

$H(z)=\frac{a_{2}\cdot z^{0} + a_{1}\cdot z^{-1} + a_{0}\cdot z^{-2}}{a_{0}\cdot z^{0} + a_{1}\cdot z^{-1} + a_{2}\cdot z^{-2}}$ 厳格なオールパスフィルター

‖ H (e^{j \cdot ω}) ‖ = 1

$\left \|H(e^{j\cdot \omega })\right \|=1$ すべての周波数に対して。このプロパティが限られた周波数範囲でのみ必要であり、振幅が正確に1である必要がない場合は、FIRフィルターを使用して近似を設計できます。

— ヒルマー
ソース

同じ効果があります。1つのドメイン（時間または周波数）で長方形のウィンドウを使用したウィンドウ処理は、他のドメイン（つまりギブ現象）で無限に長いSinc関数を使用して畳み込むことと同じです。

したがって、オールパスフィルターのN個の周波数ポイントで特定の位相変化が必要な場合は、通常、Nタップよりも数倍長いFIRになります。

— マーク・ボーガーディング
ソース

位相の滑らかさを最大化するために最適化するには、急激な変化のないターゲットデザインを選択したいですか？（そしておそらく定期的ですか？）

— MathematicalOrchid