FPGAで固定小数点atan2を計算する方法

atan2(x,y)データの連続入出力ストリームを備えたFPGA での計算が必要です。展開されたパイプライン化されたCORDICカーネルを使用して実装できましたが、必要な精度を得るために、32回の反復を実行する必要がありました。これにより、この1つのタスク専用のかなり大量のLUTが作成されました。部分的に展開されたCORDICカーネルを使用するようにフローを変更しようとしましたが、連続した入出力フローを維持しながら繰り返しループを実行するには逓倍クロック周波数が必要でした。これで、タイミングを合わせることができませんでした。

だから今、私はコンピューティングの代替方法を求めていますatan2(x,y)。

補間でブロックRAMルックアップテーブルを使用することを考えましたが、2つの変数があるため、ルックアップテーブルの2次元が必要になります。これは、ブロックRAMの使用に関して非常にリソースを消費します。

次に、象限調整にatan2(x,y)関連する事実を使用することを考えましたatan(x/y)。これに関する問題は、定数ではないx/yため真の除算が必要であり、yFPGAでの除算は非常にリソースを消費することです。

atan2(x,y)LUTの使用量を削減する一方で、優れた精度を提供するFPGA に実装する新しい方法はありますか？

対数を使用して、除算を取り除くことができます。以下のための$(x, y)$第1象限に：

$$z = \log_2(y)-\log_2(x)\\ \text{atan2}(y, x) = \text{atan}(y/x) = \text{atan}(2^z)$$

図1. atanのプロット（2 z）$\text{atan}(2^z)$

あなたはおおよそのに必要となる$\text{atan}(2^z)$の範囲内$-30 < z < 30$ 1E-9のあなたに必要な精度を得るために。対称性atan （2 − z）= πを利用できます$\text{atan}(2^{-z}) = \frac{\pi}{2}-\text{atan}(2^z)$または$(x, y)$が既知のオクタントにあることを確認します。$\log_2(a)$を近似するには：

$$b = \text{floor}(\log_2(a))\\ c = \frac{a}{2^b}\\ \log_2(a) = b + \log_2(c)$$

$b$は、最上位の非ゼロビットの位置を見つけることで計算できます。$c$はビットシフトで計算できます。あなたはおおよそのに必要となる$\log_2(c)$の範囲で$1 \le c < 2$。

図2. ログ2のプロット（c ）$\log_2(c)$

あなたの精度要件、線形補間及び均一サンプリングのために$2^{14} + 1 = 16385$のサンプル$\log_2(c)$及び$30\times 2^{12} + 1 = 122881$の試料$\text{atan}(2^z)$のために$0 < z < 30$十分です。後者のテーブルはかなり大きいです。これにより、補間による誤差は$z$大きく依存します。

図3 $\text{atan}(2^z)$の異なる範囲に対する近似最大絶対誤差$z$の単位期間あたりのサンプル数が異なるため（横軸）（8192から32）$z$。最大絶対誤差$0 \le z < 1$（省略）わずかに小さいためよりも$\text{floor}(\log_2(z)) = 0$。

$\text{atan}(2^z)$の表は対応することが、複数のサブテーブルに分割することができ$0 \le z < 1$と異なる$\text{floor}(\log_2(z))$と$z \ge 1$を計算することは容易です。テーブルの長さは、図3に示すように選択できます。サブテーブル内インデックスは、単純なビット文字列操作で計算できます。精度の要件については、zの範囲を0に拡張すると、$\text{atan}(2^z)$サブテーブルには合計29217サンプルが含まれます。$z$$0 \le z < 32$簡単にするために。

後で参照するために、近似誤差の計算に使用した不格好なPythonスクリプトを以下に示します。

from numpy import *
from math import *
N = 10
M = 20
x = array(range(N + 1))/double(N) + 1
y = empty(N + 1, double)
for i in range(N + 1):
    y[i] = log(x[i], 2)

maxErr = 0
for i in range(N):
    for j in range(M):
        a = y[i] + (y[i + 1] - y[i])*j/M
        if N*M < 1000: 
            print str((i*M + j)/double(N*M) + 1) + ' ' + str(a)
        b = log((i*M + j)/double(N*M) + 1, 2)
        err = abs(a - b)
        if err > maxErr:
            maxErr = err

print maxErr

y2 = empty(N + 1, double)
for i in range(1, N):
    y2[i] = -1.0/16.0*y[i-1] + 9.0/8.0*y[i] - 1.0/16.0*y[i+1]


y2[0] = -1.0/16.0*log(-1.0/N + 1, 2) + 9.0/8.0*y[0] - 1.0/16.0*y[1]
y2[N] = -1.0/16.0*y[N-1] + 9.0/8.0*y[N] - 1.0/16.0*log((N+1.0)/N + 1, 2)

maxErr = 0
for i in range(N):
    for j in range(M):
        a = y2[i] + (y2[i + 1] - y2[i])*j/M
        b = log((i*M + j)/double(N*M) + 1, 2)
        if N*M < 1000: 
            print a
        err = abs(a - b)
        if err > maxErr:
            maxErr = err

print maxErr

y2[0] = 15.0/16.0*y[0] + 1.0/8.0*y[1] - 1.0/16.0*y[2]
y2[N] = -1.0/16.0*y[N - 2] + 1.0/8.0*y[N - 1] + 15.0/16.0*y[N]

maxErr = 0
for i in range(N):
    for j in range(M):
        a = y2[i] + (y2[i + 1] - y2[i])*j/M
        b = log((i*M + j)/double(N*M) + 1, 2)
        if N*M < 1000: 
            print str(a) + ' ' + str(b)
        err = abs(a - b)
        if err > maxErr:
            maxErr = err

print maxErr

P = 32
NN = 13
M = 8
for k in range(NN):
    N = 2**k
    x = array(range(N*P + 1))/double(N)
    y = empty((N*P + 1, NN), double)
    maxErr = zeros(P)
    for i in range(N*P + 1):
        y[i] = atan(2**x[i])

    for i in range(N*P):
        for j in range(M):
            a = y[i] + (y[i + 1] - y[i])*j/M
            b = atan(2**((i*M + j)/double(N*M)))
            err = abs(a - b)
            if (i*M + j > 0 and err > maxErr[int(i/N)]):
                maxErr[int(i/N)] = err

    print N
    for i in range(P):
        print str(i) + " " + str(maxErr[i])    

関数近似から極大誤差$f(x)$直線的に補間することにより、F（X ）のサンプルからF （xが）、間隔のサンプリングとの均一なサンプリングによって撮影されたΔ X、によって解析的に近似することができます。$\hat{f}(x)$$f(x)$$\Delta x$

$$\widehat{f}(x) - f(x) \approx (\Delta x)^2\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{f(x) + f(x + \Delta x)}{2} - f(x + \frac{\Delta x}{2})}{(\Delta x)^2} = \frac{(\Delta x)^2 f''(x)}{8},$$

$f''(x)$$f(x)$$x$

$$\widehat{\text{atan}}(2^z) - \text{atan}(2^z) \approx \frac{(\Delta z)^2 2^z(1 - 4^z)\ln(2)^2}{8(4^z + 1)^2},\\ \widehat{\log_2}(a) - \log_2(a) \approx \frac{-(\Delta a)^2}{8 a^2\ln(2)}.$$

関数は凹であり、サンプルは関数と一致するため、エラーは常に一方向になります。エラーの符号がサンプリング間隔ごとに1回ずつ交互に行われると、極大絶対誤差は半分になります。線形補間では、次の方法で各テーブルを事前フィルタリングすることにより、最適な結果に近づけることができます。

$$y[k] = \cases{\begin{array}{rrrrrl}&&b_0x[k]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ b_1x[k+1]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ b_2x[k+2]&\text{if } k = 0,\\ &c_1x[k-1]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ c_0x[k]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ c_1x[k+1]&&\text{if }0 < k < N,\\ b_2x[k-2]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ b_1x[k-1]&\negthickspace\negthickspace\negthickspace+ b_0x[k]&&&\text{if } k = N, \end{array}}$$

$x$$y$$0 \le k \le N$$c_0 = \frac{9}{8}, c_1 = -\frac{1}{16}, b_0 = \frac{15}{16}, b_1 = \frac{1}{8}, b_2 = -\frac{1}{16}$$c_0, c_1$$N$

$$(\Delta x)^N\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\left(c_1f(x - \Delta x) + c_0f(x) + c_1f(x + \Delta x)\right)(1-a) + \left(c_1f(x) + c_0f(x + \Delta x) + c_1f(x + 2 \Delta x)\right)a - f(x + a\Delta x)}{(\Delta x)^N} =\left\{\begin{array}{ll}(c_0 + 2c_1 - 1)f(x) &\text{if } N = 0, \bigg| c_1 = \frac{1 - c_0}{2}\\ 0&\text{if }N = 1,\\ \frac{1+a-a^2-c_0}{2}(\Delta x)^2 f''(x)&\text{if }N=2, \bigg|c_0 = \frac{9}{8}\end{array}\right.$$

$0 \le a < 1$$f(x)$$f(x) = e^x$$b_0, b_1, b_2$

$$(\Delta x)^N\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\left(b_0f(x) + b_1f(x + \Delta x) + b_2f(x + 2 \Delta x)\right)(1-a) + \left(c_1f(x) + c_0f(x + \Delta x) + c_1f(x + 2 \Delta x)\right)a - f(x + a\Delta x)}{(\Delta x)^N} =\left\{\begin{array}{ll}\left(b_0 + b_1 + b_2 - 1 + a(1 - b_0 - b_1 - b_2)\right)f(x) &\text{if } N = 0, \bigg| b_2 = 1 - b_0 - b_1\\ (a-1)(2b_0+b_1-2)\Delta x f'(x)&\text{if }N = 1,\bigg|b_1=2-2b_0\\ \left(-\frac{1}{2}a^2 + \left(\frac{23}{16} - b_0\right)a + b_0 - 1\right)(\Delta x)^2f''(x)&\text{if }N=2, \bigg|b_0 = \frac{15}{16}\end{array}\right.$$

$0 \le a < 1$

$\log_2(a)$

この記事では、R。グティエレス、V。トーレス、およびJ.バルズの「対数変換とLUTベースの手法に基づくatan（Y / X）のFPGA実装」Journal of Systems Architecture、vol 。56、2010。要約では、その実装は、速度においては以前のCORDICベースのアルゴリズム、フットプリントサイズにおいてはLUTベースのアルゴリズムに勝ると述べています。