高速DCT実装

次の2つの論文にある高速8x8 DCTアルゴリズム図に従う方法を理解するのに苦労しています。

（1）Chenらによる離散コサイン変換の高速計算アルゴリズム。

そして

（2）Loefflerらによる11の乗算を伴う実用的な高速1-D DCTアルゴリズム。

特に、（2）のアルゴリズムを示す2番目の図は次のようになります。

このアルゴリズムの操作の説明は次のとおりです。

この定式化について私が持っているいくつかの質問があります、そして私は答えをどこに見つけるかわかりません：

1. （2）このアルゴリズムは、ある値でスケーリングされるDCTを生成することを示唆しています $C = \sqrt{2}$。これは、$C$DC係数の計算における乗算を回避するために、任意に選択されました。本当に唯一の要件は$C_{DCT} * C_{IDCT} = \frac{4}{N^2}$。だから私の質問はこれです：このアルゴリズムを使用した出力係数のスケーリング係数は何ですか？それらはDCTの元の定義とは異なるように見えますが、どの程度かはわかりません（主に、この図と元のDCTの定式化の間に実際に関係が見られないためです）。

   $$F(k) = \frac{2c(k)}{N}\sum_{n = 0}^{N - 1}f(n)\cos\left(\frac{\left(2n + 1\right)\pi k}{2N}\right)$$ どこ $c(k) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ために $k = 0$ そして $c(k) = 1$ ために $k \neq 0$。

2. この論文は、IDCTの実行はまったく同じアルゴリズムを使用して実行できるが、出力を入力に、またはその逆に変換できると述べています。まず、DCT係数は、IDCTを実行する前にビット逆順に並べるべきですか？次に、回転ブロック（図の四角形）の場合、逆演算は次のようにしないでください。

   $$\begin{align} O_0 = I_0 \cdot k \cdot \cos\frac{n\pi}{2N} - I_1 \cdot k \cdot \sin\frac{n\pi}{2N} \\ O_1 = I_1 \cdot k \cdot \sin\frac{n\pi}{2N} + I_1 \cdot k \cdot \cos\frac{n\pi}{2N} \\ \end{align}$$ 私の推論はこれです：回転の逆 $\theta$ によるローテーションです $-\theta$。したがって、角度をその逆に置き換えるだけで、恒等式を使用します$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ そして $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$。3番目に、IDCT後の変換された値の倍率は何ですか？（2）言う$\frac{2}{N^2}$、しかし経験的に、これは正しい結果を生み出していません。

3. アルゴリズムを実行した後、各レーンの結果が値に格納されていると仮定しますd0 ... d7。次のうち正しいものはどれですか。

   output [0] = d0またはoutput [0] = d0
   出力[4] = d1出力[1] = d4
   出力[2] = d2出力[2] = d2
   出力[6] = d3出力[3] = d6
   出力[7] = d4出力[4] = d7
   出力[3] = d5出力[5] = d3
   出力[5] = d6出力[6] = d5
   出力[1] = d7出力[7] = d1 

この質問を改善する方法がある場合、または他の場所で質問する必要がある場合は、お知らせください。

わかりました。この問題を何日か見つめた後、私は次の貧しい魂に少しのガイダンスを提供できることを願っています。

1. はい、スケーリングは異なります。scipy.fftpack.dctDC項と比較すると$\frac{1}{2}$ その他の用語 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。しかし、明らかにそれはすべて逆変換でうまくキャンセルします。
2. 逆の入力順序は、出力されるとおりです。ビットが逆になります。文字通り、図をめくってラインをつなぎます。そして、はい、あなたは罪がマイナスになることは正しいです。倍率は8、FWIWです。
3. 逆の出力順序は、順方向変換の入力順序と同じです。そう$x[n]=\frac{\mathrm{IDCT}(\mathrm{DCT}(x[n]))}{8}$

また、グラフにエラーがあり、 $\sqrt{2}c6$ 偶数回転ブロック用。