です

です $x(t) = \cos t + \sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ 周期的な信号？

本が提供する答えは私の答えとは異なります。本はそれが周期的な信号ではないと言います。なぜそれが定期的な信号ではないのですか？

私の答え：

$\cos(t)$ 周期的 $2\pi f_1 = 1 \Rightarrow f_1=\frac{1}{2\pi} \Rightarrow T_1=2\pi$

$\sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ としても周期的です $2\pi f_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f_2=\frac{1}{4\pi} \Rightarrow T_2=4\pi$

したがって $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$ 有理数

したがって、与えられた $x(t)$ 周期的な信号です。

periodic

— プラナフ・ピータンバラン
ソース

どの本がそう言っていますか？

— Matt L.

Pranav：DSP.SEへようこそ！あなたは正確に正しい方法で宿題/自習の質問をしてきました：、質問をし、それはそれはあなたが答えにしようとしている教科書の問題だということを明らかにした、とあなたは答えがある（もしくは限り示す考えを示しました分かるでしょう）。よくやった！

— Peter K.

教授が書かれているかもしれないがあるため誤植は、あからさまな失策はもちろんのこと、マニュアルソリューションや教科書に含まれている「奇数の問題への回答」で、未知のではないテキスト、慎重に証拠-読み、それを、ソリューションマニュアル演習への回答は、ハリー大学院生のアシスタントによって作成され、教授が慎重にチェックするものではありません。これは、教授が誤りに対する責任を免除されていると言っているのではなく、「本の答え」がすべての場合において福音の真実として信頼されない理由の単なる説明です。

— Dilip Sarwate、2015

私の疑問を解決してくれた友人に感謝します。君たちは最高です！おかげでたくさん:)それはコーチングインスティテュートの本、練習問題の一つからのものでした。:)

— Pranav Peethambaran

SE.DSPはあなたの質問またはその回答が何らかのアクション（更新、投票、承認など）を必要とする可能性があることを示す優しい通知で2017年が幸せな新年になることを願っています

— Laurent Duval

回答:

毎 $t_0\in\mathbb{R}$ そして $k\in\mathbb{Z}$

\begin{array}{rcl} x (t_{0} + 4 k π) & = \cos (t_{0} + 4 k π) + \sin (t_{0} / 2 + 2 k π) \\ = \cos (t_{0}) + \sin (t_{0} / 2) \\ = x (t_{0}) \end{array}

$\begin{eqnarray} &x(t_0+4k\pi) &=\cos(t_0+4k\pi)+\sin(t_0/2+2k\pi)\\ & &=\cos(t_0)+\sin(t_0/2)\\ & &=x(t_0) \end{eqnarray}$ あなたは正解です：

x (t)

$x(t)$ 定期的です。

— ディーブ
ソース

逆の答えを追加するには：時間インデックスの場合、 $t$ 、整数の場合、信号は周期的ではありません。

定期的の定義は次のとおりです。 $x[t]$ 、 $t\in\mathbb{Z}$ 周期的で周期的 $P\in \mathbb{Z}$ iff

x [t] = x [t + P]

$x[t] = x[t+P]$

だから私たちは必要

\cos (t) = \cos (t + P)

$\cos(t) = \cos(t+P)$ 周期性のために必要です

P = 2 π k

$P = 2\pi k$ と

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$ 。

以来 $\pi$ 不合理ですが、そうではありません。

したがって、信号の最初のコンポーネントを周期的にすることはできないため、信号全体を周期的にすることはできません。

— ピーターK
ソース

Pが整数である必要はないので、cos（t）= cos（t + P）です。すべてのtについてcos（t）= cos（t +2π）、なぜならcos（t +2π）= sin（t）* sin（2π）+ cos（t）* cos（2π）= sin（t）* 0 + cos（t）* 1 = cos（t）

— Stoleg

いいね！しかし、本が慣習に従っている場合

x (t)

$x(t)$ は連続時間信号を示し、

x [t]

$x[t]$ は離散時間信号を示し、

t

$t$ 整数値のみを引き受け、それは....適用されません

— ディリップSarwate

@Stoleg：いいえ、

P

$P$ この場合、整数でなければなりません。のインデックス

x

$x$ 離散時間信号の場合、整数でなければなりません。さもないと

x [t + P]

$x[t+P]$ 未定義です。

— Peter K.

@LaurentDuval：ありがとう！はい、連続時間信号は確実に周期的です

x (t) = x (t + P)

$x(t) = x(t+P)$ 、ために

t \in R

$t\in\mathbb{R}$ そして

\forall P \in R

$\forall P \in \mathbb{R}$ 。そして、あなたが言うように、サンプリングされたバージョン（離散時間バージョン）は定期的ではありませんが、再構築されたバージョンは（十分に速くサンプリングした場合）...おそらくエイリアス+再構築されたバージョンも定期的かもしれません... ）。

— Peter K.

F_{u n}

$\mathbf{F}_{un}$ !!!

— Peter K.

三角関数のアイデンティティのダブルアングルの公式は、 $\cos \left(\frac{2t}{t}\right) = 1 - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ 。

あなたはこうして $x(t) =1 +\sin(\frac{t}{2}) - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ 。したがって、信号はすべてが許可する関数（加算および乗算）で構成されます。 $4\pi$ ピリオドとして（はい、定数関数 $x\to 1$ です $4\pi$ 定期的にも）。

したがって、関数は非常に周期的に見えます。

— ローランデュバル
ソース