補完的なIIRフィルター

相補的なIIRフィルターのペア（ローパス/ハイパス）が欲しいのですが。つまり、2つのフィルターからの出力が合計されると、元の信号が復元されます。バターワースフィルターを使用してこのようなペアを構築できると思いましたが、少し計算してみると、1次フィルターのみが補完的であることがわかりました。私はこれを以前にやったと思っていたが、どうやって忘れたか。

私の数学に何か問題がありますか？私が忘れている簡単な解決策はありますか？

ありがとう！

フアンチョの答えはまあまあですが、問題が1つあります。ローパスの補完フィルターは、通常、少なくとも探しているという意味では、ハイパスフィルターではありません。たとえば、4次のバターワースローパスの賛辞は、4次のハイパスフィルターのようには見えません。それは約半分の急勾配しかなく、約caの最大ゲインに達します。クロスオーバー周波数より+6 dB低く、その後、クロスオーバー周波数より上でユニティゲインに徐々に近づきます。

合計が1になる一致するハイパスフィルターとローパスフィルターは、1次フィルターのみです。ただし、合計がユニティゲインになる高次フィルターに一致するものを見つけることができるため、合計の伝達関数はオールパスフィルターになります。これらは奇数次バターワースフィルターであり、偶数リンクウィッツライリーフィルターです。

2つの相補フィルターの周波数応答は、またはインパルス応答。$H_2(e^{j\theta}) = 1 - H_1(e^{j\theta})$$h_2[n] = \delta[n] - h_1[n]$

IIRフィルターの場合、はと書くことができます。その場合、はます。$H_1(z)$ H2（z）（a0−b0）+（a1−b1）z−1+$\frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$$H_2(z)$$\frac{(a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$

以下のための非再帰的係数だから、なりました、など、（a 0 - b 0）（a 1 - b 1$H_2$$(a_0-b_0)$$(a_1 - b_1)$

再帰係数は両方のフィルターで同じです。