畳み込みと相互相関の違いは何ですか？

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複数のサイトで畳み込みと相互相関が似ていることを発見しました（畳み込みのタグwikiを含む）が、それらの違いをどこにも見つけられませんでした。

2つの違いは何ですか？自己相関も一種の畳み込みであると言えますか？

convolution autocorrelation cross-correlation

— ミエン
ソース

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偶数の実関数に対して、相互相関と畳み込みが同じ結果を生成することに注意するのは興味深いかもしれません。

2

1つは5先の尖った星を使用し、もう1つは6先の尖った星を使用します✶。

— エンドリス14

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相互相関と畳み込みの唯一の違いは、入力の1つでの時間反転です。離散畳み込みと相互相関は次のように定義されます（実際の信号の場合、信号が複雑な場合に必要な共役を無視しました）。

x [n] * h [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n - k]

$x[n] * h[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n-k]$

c o r r (x [n], h [n]) = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n + k]

$corr(x[n],h[n]) = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n+k]$

これは、重複保存などの高速畳み込みアルゴリズムを使用して相互相関を効率的に実装できることを意味します。最初に入力信号の1つを時間反転します。自己相関は上記と同じですが、を除き、同じ方法で畳み込みに関連していると見なすことができます。 $h[n] = x[n]$

編集：他の誰かが重複した質問をしたので、私はもう1つの情報を追加することに触発されました：重複保存のような高速畳み込みアルゴリズムを使用して周波数領域で相関を実装する場合、時間の面倒を避けることができます-代わりに、周波数領域で信号の1つを共役させることにより、最初に信号の1つを反転します。周波数領域での共役は、時間領域での反転と同等であることを示すことができます。

— ジェイソンR
ソース

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この答えは実際の信号では問題ありませんが、Jasonは複素数値信号を作成しました。その場合、「違いは....時間反転...」だけではないことに注意することが重要です。相関式の2つの信号の1つに複素共役が必要です（共役の1つは慣習の問題です-一部はmah to、一部はmah toと言いますが、両方とも果物を野菜と呼びます）。一方、畳み込み式ではどちらの信号も共役しません。

— ディリップサーワテ

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しかし、それらがとても似ているということはどういう意味ですかいくつかの深く直感的な言葉を使用して！

— ディエゴ

私はこれがどのように逆になっているのかわかりませんが、有用なものとは反対の方向にシフトしますか？

— ジョナサン。

@Jonathan .: 相関と畳み込みの場合、合計内の時間インデックスが無効になるため、反転が発生します。サンプル信号の計算を行うと、効果がわかります。

k

$k$

— ジェイソンR

@JasonR、これは確かに反対方向のシフトをもたらすだけでしょうか？私はそれを試してみましたが、起こることはすべて、x入力がh入力からシフトし、すべてがゼロになることです。jsfiddle.net/ua5d1uo2

— ジョナサン。

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連続畳み込みおよび連続相互相関相互相関を示すのは簡単です演算子は、畳み込み演算子随伴演算子です。

[H f] (x) \equiv f (x) * h (x) \equiv \int d x^{'} h (x - x^{'}) f (x^{'})

$[Hf](x) \equiv f(x) * h(x) \equiv \int\mathrm{d}x' h(x-x')f(x')$

[G f] (x) \equiv f (x) ⋆ h (x) \equiv \int d x^{'} h^{*} (x^{'} - x) f (x^{'})

$[Gf](x) \equiv f(x) \star h(x) \equiv \int \mathrm{d}x'h^*(x'-x)f(x')$

G

$G$

H

$H$

また、畳み込み演算は可換相互相関にはそのような性質がありません。

f (x) * h (x) = h (x) * f (x),

$f(x) * h(x) = h(x) * f(x),$

$\\\\\\\\$

— チャオファン
ソース

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学生として、私はあなたと同じ問題に関与していました。数学なしで最も簡単な言葉で説明させてください。

畳み込み：2つの関数を畳み込むために使用されます。冗長に聞こえるかもしれませんが、例を挙げましょう：ユニットセル（必要なものを含むことができる：タンパク質、画像など）と格子構造を畳み込みます（非数学用語で「組み合わせる」）。その結果、このユニットセルは各格子点で編成され、編成されたユニットセルの繰り返し構造が作成されます。

相互相関：構造内のセルを識別するために使用されます。例として、都市の小さな断片の画像と都市全体の画像があります。相互相関を使用すると、都市の全体像の中でその小さな画像がどこにあるかを判断できます。もっと簡単に言えば、一致するものが見つかるまで「スキャン」します。これを行う方法は、各画像からの値のさまざまな乗算の合計から来る相互相関係数を見つけることです。

とても簡単です。数学をわかりやすく理解したい場合は、このビデオをご覧ください。CALTECHのこの教授は、私が今まで見た中で最高の方法でそれを説明します。

https://www.youtube.com/watch?v=MQm6ZP1F6ms

幸運を祈ります。

— アンドレス
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直観に役立つ場合の2つの視覚化を次に示します。

http://www.youtube.com/watch?v=Ma0YONjMZLI

— user2084538
ソース

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これは、相互相関の結果が畳み込みの結果の時間反転に過ぎないという印象を残すため、2つの操作の違いを非常に不適切に選択した図です。

— ディリップサルベート