ラプラス変換は冗長ですか？

ラプラス変換フーリエ変換ので、フーリエ変換の一般化であるラプラスのための変換である（すなわち、純虚数=ゼロ実部）。 $s = j\omega$ $s$ $s$

通知：

フーリエ変換： $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

ラプラス変換： $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

また、信号は、そのフーリエ変換とラプラス変換から正確に再構築できます。

再構成に必要なのはラプラス変換の一部の部分）のみであるため、残りのラプラス変換（）は再構成には役に立たないようです... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

本当ですか？

また、ラプラス変換の別の部分で信号を再構成できますか（例：または）？ $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

そして、信号のラプラス変換を計算し、ラプラス変換の1点のみを変更し、逆変換を計算するとどうなりますか。元の信号に戻りますか？

fourier-transform laplace-transform

— ビンツ
ソース

なぜ下票なのか？質問に誤った結論が含まれている場合でも、コメントや回答で非常にうまく対処できます。誰かが明らかに何らかの努力をしたという質問を黙って否定することは、あまり建設的ではありません。

— Jazzmaniac

私は質問を支持しました。私は角周波数の観点で考えていた場合に

、その後、私はフーリエ変換を言いたい：

とラプラス変換：

。その後、それらが同じものであることはかなり明らかです（sorta）。

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— ロバートブリストージョンソン

フーリエ変換とラプラス変換には明らかに多くの共通点があります。ただし、どちらか一方しか使用できない場合や、どちらか一方を使用する方が便利な場合があります。

まず、定義であなたは、単に置き換えるにもかかわらずでまたはその逆の他に変換を1から行くために、これは一般的にラプラス変換を与えたときに行うことができないまたはフーリエ変換関数の。（2つの関数は同じ時間領域関数に対して異なる可能性があるため、異なるインデックスを使用します）。ラプラス変換のみが存在する関数があります。たとえば、、 $s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ 、ここではヘビサイドステップ関数です。その理由は、ラプラス変換の定義の積分がに対してのみ収束するため。これは、フーリエ変換の定義の対応する積分が収束しない、つまり、フーリエ変換がこの領域に存在しないことを意味します場合。 $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

$s$

関連する質問に対するこの回答もご覧ください。

— マット・L
ソース

フーリエ変換は、理想的な（非因果的、不安定な）システムを分析するための便利なツールです。因果的で安定していると言えますか？

— ビンツ

@ user17604：私が書いたものを意味した。もちろん、因果的で安定した（そして理想的ではない）システムにも使用できます。ただし、重要な用途の1つは、ラプラス変換を使用できない理想的なシステム（理想的な周波数選択フィルターなど）の分析です。

— マットL.

@MattL。すばらしい答えですが、「非ゼロの初期条件でLTIシステムを分析する」のは紛らわしいと感じました。

@ 0MW：はい、おそらく「最初は停止している場合はLTIであるシステム」と言ったはずです。

— マットL.