フーリエ変換は、特定の信号の周波数成分を確認できる数学的操作です。しかし、今、私の通信で。もちろん、教授はヒルベルト変換を導入しました。

私は、それが多少ヒルベルト変換するという事実は、FFTによって乗算された所定の周波数成分に連結されることを理解$-j\operatorname{sign}(W(f))$またはで時間関数を畳み込む。$1/\pi t$

ヒルベルト変換の意味は何ですか？その変換を特定の信号に適用すると、どのような情報が得られますか？

ヒルベルト変換の1つの用途は、いわゆる分析信号を取得することです。信号に対して$s(t)$、そのヒルベルト変換S（Tは）組成物として定義されます。$\hat{s}(t)$

取得する分析信号は複素数値であるため、指数表記で表現できます。

ここで：

$A(t)$は瞬間的な振幅（エンベロープ）です

$\psi(t)$は瞬時位相です。

これらはどのように役立ちますか？

瞬時振幅は多くの場合に役立ちます（単純な高調波信号のエンベロープを見つけるために広く使用されています）。インパルス応答の例を次に示します。

次に、位相に基づいて、瞬時周波数を計算できます。

これは、スイープトーンの周波数検出、エンジンの回転など、多くのアプリケーションで再び役立ちます。

その他の使用例は次のとおりです。

• 通信での狭帯域信号のサンプリング（主にヒ​​ルベルトフィルターを使用）。

• 医療画像処理。

• 到着方向の配列処理。

• システム応答分析。

$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$ すべての初期情報を保持し、さらにその「振幅」は1のモジュラスです。上記のすべてには、帯域制限と局所性の概念が作用するため、注意が必要です。

Hilbert変換（および高次元のRiesz変換）は、より基本的なツールです。Steven G. Krantzによる、複素関数理論とハイゼンベルググループへの応用による調和解析の探索の第2章のプロローグが好きです。

プロローグ：ヒルベルト変換は、疑いもなく、分析で最も重要な演算子です。それは非常に多くの異なるコンテキストで発生し、これらすべてのコンテキストは深遠で影響力のある方法で絡み合っています。結局のところ、次元1には特異積分が1つしかなく、それはヒルベルト変換です。哲学は、すべての重要な分析上の質問が特異積分に帰着するというものです。そして、最初の次元では、選択肢は1つだけです。

信号/画像処理のアプリケーションは、おそらくその基本的な特性のために多数あります：瞬間的な振幅/周波数推定、振幅のみの因果フィルターの構築（クラマース-クレニヒ関係）、小冗長2D方向ウェーブレット、シフト不変エッジ検出、等

F. King、2009、Hilbert transformsによる2巻もお勧めします。

変換（FTやHilbertなど）は、新しい情報を何も作成しません。したがって、「取得する情報」、または1D /実信号のヒルベルト変換によって提供される結果の分析複素信号に追加される次元は、その信号の各ポイントのローカル環境の要約の形式であり、それに結合されますポイント。

ローカル位相やエンベロープ振幅などの情報は、実際には各ローカルポイントを囲む信号の幅または範囲（無限範囲まで）に関する情報です。Hilbert変換は、1D実信号から複雑な分析信号の1つのコンポーネントを生成する際に、信号の周囲の範囲からの情報を信号の各単一ポイントに圧縮し、より多くの決定を行えるようにします（ビットの復調など） 、エンベロープの振幅などをグラフ化）各ローカル（現在は複雑な）ポイントまたはサンプルで、それぞれの信号にある幅の新しい（ウェーブレット、ウィンドウ化Goertzelなど）ウィンドウを再スキャンおよび/または処理する必要なしポイント。

ヒルベルト変換によって生成される解析信号は、多くの信号解析アプリケーションで役立ちます。最初に信号をバンドパスフィルター処理する場合、解析的な信号表現は信号のローカル構造に関する情報を提供します。

• $\pi$$\pm \pi/2$
• 振幅は、対称（位相）に関係なく、ポイントでの構造の強度を示します。

この表現は

• ローカルエネルギー（振幅）による特徴検出
• フェーズを使用したフィーチャ分類
• 位相一致による特徴検出

また、Riesz変換を使用して、モノジェニック信号などの高次元に拡張されています。

ヒルベルト変換を実装すると、元の実数値信号に基づいて分析信号を作成できます。また、通信の世界では、分析信号を使用して、元の実数値信号の瞬間的な大きさを簡単かつ正確に計算できます。そのプロセスはAM復調で使用されます。また、解析信号から、元の実数値信号の瞬時位相を簡単かつ正確に計算できます。そのプロセスは、位相復調とFM復調の両方で使用されます。あなたの教授は、Hilbert変換をカバーするのに正しいです。なぜなら、Hilbert変換は、コミュニケーションシステムで非常に便利だからです。

すでに素晴らしい答えですが、デジタルドメインでは信号を分析バージョンに変換するのは簡単です（必要なハーフバンドフィルターの係数の半分はゼロに等しい）が、一度追加するとサンプルレートをカットできる半分、本質的に処理を実数と虚数のパスに分割。明らかに、ここにはコストがかかり、いくつかのクロスタームを処理する必要がありますが、一般に、クロックレートが要因となるハードウェア実装では役立ちます。

他の回答で既に説明したように、ヒルベルト変換は、信号のエンベロープと位相を見つけるために使用できる分析信号を取得するために使用されます。

ヒルベルト変換の別の見方は、周波数領域です。実際の信号は正と負の周波数成分が同一であるため、分析ではこの情報は冗長です。

ヒルベルト変換を使用して、負の周波数部分を除去し、正の周波数部分の振幅を2倍にします（電力を同じに保つため）。

ここで、設計されたヒルベルト変換フィルターは、50MHzから450MHzまでの周波数を通過させる帯域通過性の性質です。入力は、200MHzと500MHzに等しい周波数を持つ2つの正弦波信号の合計です。

PSDプロットから、200MHz信号の負の周波数成分が減衰し、500MHz信号が通過することがわかります。

この質問にはすでに多くの優れた答えがありますが、ヒルベルト変換の概念と有用性を大いに明らかにしたこのページのこの非常に簡単な例と説明を含めたかったのです。

$z(t)$

ここでZ（ωは）正の周波数複合正弦波の複素係数（振幅と位相を設定する）であるEXP（JωT

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ ${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$、信号 z （t ）は、実信号 x （t ）に対応する（複雑な）解析信号です。つまり、実信号 x （t ）に対して、対応する解析信号 z （t $z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$ 「除外」されました。

（免責事項：私はページの著者ではありません）