arcsinアルゴリズムを探す

誰かが適度に正確なアークサインを計算するための単純なアルゴリズムを持っていますか？「シンプル」とは、出力サンプルごとに5回以下の乗算を必要とするある種の多項式を意味します。「合理的に正確」とは、入力引数がプラスまたはマイナス1に近いときにエラーが10％以下のアルゴを意味します。しばらくウェブを検索しましたが、すぐに役立つものは何も見つかりませんでした。

これが多項式バージョンです：

$$\arcsin(x) = x + \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} + \frac{1\cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^7}{7}$$

function y = arcsin_test3(x)
    y = x.*(1+x.*x.*(1/6+ x.*x.*(3/(2*4*5) + x.*x.*((1*3*5)/(2*4*6*7)))))
endfunction

5つの乗算（の結果を保存できると想定x.*x）と3つの加算があるようです。

そしてscilabプロットは：

上はscilabのasinvsこれです。下は2つの間のエラーです。

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元の回答

ここの平方根は面倒かもしれませんが、面白そうなので書きたいと思いました。:-)

このページは提案します：

Milton AbramowitzとIrene Stegunによる 『Handbook of Mathematical Functions』の81ページから：

$$\arcsin(x) = \pi/2 - \sqrt{1 - x}(a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3),$$ どこ $$a_0 = 1.5707288\\ a_1 = -0.2121144\\ a_2 = 0.0742610\\ a_3 = -0.0187293$$

私はこれを実装しましたがscilab、周りを除いて問題なく動作します$x= -1$。ただ反映する$0 \le x \le 1$ に $-1 \le x \le 0$ はるかに良い近似になります。

上のプロットは、緑の変化に対する上記の近似（破線の赤）に対するscilabのasin関数を示しています。

下のプロットは、私の変更のエラーを示しています（同じ軸に元のプロットをすると、緑はどこでもゼロに見えます）。

// 25770
function y = arcsin_test(x)
    a0 = 1.5707288
    a1 = -0.2121144
    a2 = 0.0742610
    a3 = -0.0187293

    xx = abs(x)

    y = %pi/2 - sqrt(1-x).*(a0 + a1*x + a2.*x.*x + a3.*x.*x.*x)

endfunction

function y = arcsin_test2(x)
    a0 = 1.5707288
    a1 = -0.2121144
    a2 = 0.0742610
    a3 = -0.0187293

    xx = abs(x)

    y = %pi/2 - sqrt(1-xx).*(a0 + a1*xx + a2.*xx.*xx + a3.*xx.*xx.*xx)

    y = y.*sign(x); 
endfunction

x = [-1: .0100001 : 1];

clf
subplot(211)
plot(x,arcsin_test2(x),'g.');
plot(x,arcsin_test(x),'r:');
plot(x,asin(x))
subplot(212)
//plot(x,(arcsin_test(x) - asin(x)),'r:')
plot(x,(arcsin_test2(x) - asin(x)),'g.')

私はかなり良い実装をしています $\arctan()$ こちら。

私はあなたがアイデンティティを使うことができると思います：

$$\arcsin(x) = \arctan\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right)$$

あなたが欲しいものを得るために。

曲線の中央部分はかなり線形であり、2項または3項へのテイラー近似が適切な開始点です（最小二乗多項式はわずかにより良く適合します）。

傾斜が無限であるため、側面はより問題になります。対処する方法は、変換を使用することです

$$\arcsin(x)=\frac\pi2-\arcsin(\sqrt{1-x^2}),$$

これは平方根を含みます。

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あなたの議論なら $z$ は浮動小数点で表され、平方根の高速近似は、指数を半分にし、仮数に線形変換を適用することによって得られます。

しましょう $z=m2^e$、 $1\le m<2$、その後 $\sqrt z=\sqrt m\,2^{e/2}$。概算できます$\sqrt{m}$ 沿って $(\sqrt2-1)(m+\sqrt2)$。

• 指数を取る $e$ 離れて（それをクリアすると、 $m$）;
• もし $e$ 均等、計算 $(\sqrt2-1)(m+\sqrt2)$;
• もし $e$ 奇数、計算 $\sqrt2(\sqrt2-1)(m+\sqrt2)$;
• 指数を設定する $\lfloor e/2\rfloor$。