離散フーリエ変換対称性

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私はLyonsの本の離散フーリエ変換に関する章を読んでいました-デジタル信号処理について-対称性に関する最後の段落を理解できませんでした。

この時点で言及するに値するDFTの追加の対称特性があります。実際には、入力インデックスが正と負の両方の値に対して定義されている実際の入力関数のDFTを決定する必要がある場合があります。その実数入力関数が偶数の場合、は常に実数かつ偶数になります。つまり、実数場合、は一般に非ゼロであり、 $n$ $X(m)$ $x(n) = x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$ ゼロです。逆に、実入力関数が奇数の場合、場合、は常にゼロであり、は一般に非ゼロです。 $x(n) = −x(−n)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

注： $X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

まず、「奇数」と「偶数」とはどういう意味ですか？入力信号のサンプル数だと思いますが、それが2つ目の質問です。
偶数の実数入力関数ではゼロであり、奇数の実数入力関数ではゼロおよび一般にゼロではないのはなぜですか？ $X_{\textrm{imag}}(m)$ $X_{\textrm{real}}(m)$ $X_{\textrm{imag}}(m)$

discrete-signals dft

— ある男
ソース

en.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions

— エンドリス

ええ、ヒルマーの答えの後、私はそれがテキストが言及しているものだと理解しました。

— someguy

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偶数と奇数は、周りの対称性を指し。 $n = 0$

も意味する ; 行でパーツをミラーリングするだけで、パーツを取得できます。 $x[n] = x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$

奇数は、意味します。ラインで部分をミラーリングし、それを乗算することにより、部分を取得できます。 $x[n] = -x[-n]$ $n < 0$ $n > 0$ $n=0$ $-1$

コサイン波は偶数、サイン波は奇数です。

これらはすべて、一般的な対称性の特別なケースです

1つのドメインで実数である場合、もう1つのドメインで共役対称です。

共役対称とは、実部が偶数で虚部が奇数であることを意味します。ほとんどの人は、リアルタイムドメイン信号が共役対称スペクトルであることを知っていますが、逆の場合もあります。共役対称時間ドメイン信号には、実数値のスペクトルがあります。

— ヒルマー
ソース

ああ、余弦波と正弦波を描くと、奇数と偶数の入力関数を理解するのに役立ちました。ありがとうございました。

— someguy

7

ヒルマーの答えはもちろん完全に正しいですが、私はリヨンがOPが引用した声明で言及しなかったいくつかの点があると思います（またはおそらく彼は以前にそれらについて話し、OPが引用した段落で自分自身を繰り返さないことを選択しました）。

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ $N$ $(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ $N$

\begin{aligned} X [m] & = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1, \\ x [n] & = \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} X [m] \exp (\frac{j 2 π n m}{N}), n = 0, 1, \dots, N - 1. \end{aligned}

$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$

m, n

$m, n$

[0, N - 1]

$[0, N-1]$

N

$N$

x [\cdot]

$x[\cdot]$

X [\cdot]

$X[\cdot]$

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

(X [0], X [1], \dots, X [N - 1])

$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$

x [n + i N] = x [n]

$x[n+iN] = x[n]$

X [m + i N] = X [m]

$X[m+iN] = X[m]$

m, n,

$m, n,$

i

$i$

$N$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

X^{(0)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [N], x [N + 1], \dots, x [2 N - 1])

$(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$

X^{(1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k + N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

(x [- N], x [- N + 1], \dots, x [- 1])

$(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$

X^{(- 1)} [m] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x [k - N] \exp (\frac{- j 2 π m k}{N}), m = 0, 1, \dots, N - 1,

$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$

N

$N$

$x[n] = x[-n]$ $n$ $x[-1] = x[1]$ $x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$ $x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$

(x [0], x [1], \dots, x [N - 1]) = (x [0], x [1], x [2], x [3], \dots, x [3], x [2], x [1])

$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$

x [0]

$x[0]$

N

$N$

— ディリップ・サルワテ
ソース

0

偶数と奇数の関数を明確にするために、

偶数：y軸に関して対称奇数：原点に関して対称

そして、数学的な詳細に入るまでもなく、実数値関数のDFTは対称的です。つまり、結果のフーリエ関数には、0周波数成分に関して鏡像である実数部と虚数部の両方があります。これは、複雑な関数のDFTを取る場合には起こりません。

— ナレシュ
ソース

>偶数：y軸に関して対称奇数：原点に関して対称。これが何を意味するのか、もう少し説明してください。それぞれ、偶数関数と奇数であるとみなす関数の例を挙げてください。多分あなたの定義は関数が偶数と奇数の両方になることを許していると感じます。そうですか？

— Dilip Sarwate、2012年

こんにちはディリップ、関数がy軸に関して鏡像である場合、その偶数。たとえば、余弦はY軸に対して鏡像です。その偶数関数。奇数の関数の場合、それは原点に関する反映です。XとYの両方に関して反射を取ることを意味します。正弦関数のように。プロットを見て、その関数が偶数か奇数かを確認できます。

— Naresh