ガウスのラプラシアンのシグマとガウスの違いの2つのシグマの関係は何ですか？

ラプラシアンオブガウスフィルターは差分オブガウスフィルターで近似できること、および後者の2つのシグマの比率は最適な近似を得るために1：1.6である必要があることを理解しています。ただし、ガウス分布の違いの2つのシグマが、ガウスのラプラシアンのシグマとどのように関係するのかはわかりません。前者の小さいシグマは後者のシグマに等しいですか？大きいシグマですか？それとも関係は別のものですか？

Laplacian-of-Gaussianフィルターは、Difference-of-Gaussianフィルターで近似できることと、後者の2つのシグマの比が最適な近似のために1：1.6であることを理解しています

理論的には、2つのシグマ間の比率が小さいほど、近似は良くなります。実際には、ある時点で数値エラーが発生しますが、浮動小数点数を使用している限り、1.6よりも小さい値を使用すると、より適切な近似が得られます。

説明のために、Mathematicaでkのいくつかの値についてLoGとDoGの断面をプロットしました。

ご覧のとおり、k = 1.6は理想的な近似ではありません。たとえば、k = 1.1の場合、より近い近似が得られます。

しかし、通常、シグマの範囲のLoG近似を計算します。（そうでなければ、なぜDoG近似に悩まされるのですか？単一のLoGフィルタリングされた画像を計算することは、単一のDoGフィルタリングされた画像を計算するよりも高価ではありません。）シグマs、s k、s k ^ 2、s * k ^ 3 ...を使用して画像を作成し、隣接するガウス分布の差を計算します。したがって、より小さいkを選択した場合、同じシグマ範囲に対してガウス分布の「レイヤー」をより多く計算する必要があります。k = 1.6は、厳密な近似を求めることと、あまりにも多くの異なるガウス分布を計算したくないこととのトレードオフです。

ただし、ガウス分布の違いの2つのシグマが、ガウスのラプラシアンのシグマとどのように関係するのかはわかりません。前者の小さいシグマは後者のシグマに等しいですか？

リンクされているウィキページ@Liborの式から、であることがわかります。したがって、あるシグマの近似LoGには、シグマ 2つのガウス分布が必要です。および（少なくとも制限）。または、kに関して：$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

たぶん、ここの式はあなたを助けることができます。

スケール空間表現は拡散方程式を満たすため、LoGはスケール空間の2つのスライス間の差として計算できます。

そのため、DoG式を導出する場合、最初に有限差分でLoGを近似します。シグマの特定の比率は、そもそもLoGを近似するためにスケールの単位ステップが取られているという事実に由来すると思います。