振幅のみの周波数応答から伝達関数を推定する方法は？

任意の周波数応答が与えられた場合、その与えられた周波数応答に（ある程度の推定品質基準に対して）「かなり良い」近似を与える伝達関数（極とゼロの配置）を推測、推定、または決定できる信号処理方法はどれですか？与えられた伝達関数と与えられた近似誤差許容値に必要な極と零点の数を推定するためにどのような手段が存在しますか？または、可能であれば、これらの制約が満たされないと判断するにはどうすればよいでしょうか？

特定の周波数応答が既知の伝達関数によって実際に生成された場合、これらの方法のいずれかがその元の伝達関数に収束しますか？与えられた周波数応答が（ガウスと想定される）測定誤差の影響を受ける場合はどうでしょうか？

連続したドメインの回答も興味深いかもしれませんが、サンプルされたスペクトルでZ平面で作業すると仮定します。

追加：周波数応答の大きさのみが指定されている場合、解法は異なりますか（たとえば、位相応答のある解が許可されます）？

追加：後者の問題は、単位円の周りの既知のマグニチュード応答が不明/測定されていない位相応答を考えると、私が最も興味を持っている問題であり、測定されたシステムを推定できますか？

transfer-function frequency-response zeros

— hotpaw2
ソース

任意の周波数応答を有理スペクトルとして近似しようとしていますか？つまり、（b [0] + b [1] z ^ -1 ...）/（1 + a [1] z ^ -1 ...）？その場合、これは通常ARMAモデリングと呼ばれます。信号の自己相関は移動平均係数（b []またはゼロ）に非線形的に関連する傾向があるため、ARモデリングよりも困難です。私の仮定が正しければ、より正式な応答を書くことができます。

— ブライアン

@ブライアン：はい。「極とゼロ」の解（有理伝達関数）が適切であることを示唆することを試みました（できれば、全極またはすべてゼロの解/同次の推定よりも良い場合のみ）。

— hotpaw2

H (ω)

$H(\omega)$

H (f)

$H(f)$

H (s)

$H(s)$

@Dilip Sarwate：単位円のみのH（w）が与えられた場合（それは冗長ですか？）、完全なz平面表現を解決/推定します。うまくいけば、それは私の質問の元のステートメントと一致しています。

— hotpaw2

加えて物事が変わります。極と零点は、大きさの応答が同じまま変化する可能性があります。この最も一般的な例は、最小位相フィルターを設計している場合です。これには通常、既存のシステムを採用し、極と零点を単位円内に反映させることが含まれます。これは位相応答のみを変更し、振幅応答は変更しません。

— ブライアン

回答:

1つのアプローチは、周波数領域最小二乗（FDLS）法を使用することです。離散時間システムの周波数応答の（複雑な）サンプルのセットと、設計者が選択したフィルター次数が与えられた場合、FDLSメソッドは線形最小二乗最適化を使用して、係数のセット（極のセットに直接マッピング）を解決しますおよびゼロ）周波数応答が最小二乗誤差の最小値で目的の応答と一致するシステムの場合。

$N$

H (ω) = H (z) |_{z = e^{j ω}}

$H(\omega) = H(z)|_{z=e^{j\omega}}$

$H(z)$ $z$

H (z) = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_{k} z^{- k}}{1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} z^{- k}}

$H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_kz^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}$

したがって、周波数応答は次のとおりです。

H (ω) = \frac{\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω}}{1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω}}

$H(\omega) = \frac{\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega}}{1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}}$

上記を再配置して取得します。

\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω} - H (ω) (1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω}) = 0

$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega} - H(\omega) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega}\right) = 0$

$2N+1$ $b_k$ $a_k$ $H(\omega)$ $\omega$

$\omega_m \in [0, 2\pi), m = 0, 1, \ldots , M-1$ $M > 2N+1$ $M \gg 2N+1)$ $\omega_k$

\sum_{k = 0}^{N} b_{k} e^{- j k ω_{k}} - H (ω_{k}) (1 + \sum_{k = 1}^{N} a_{k} e^{- j k ω_{k}}) = 0

$\sum_{k=0}^{N}b_ke^{-jk\omega_k} - H(\omega_k) \left(1 + \sum_{k=1}^{N}a_ke^{-jk\omega_k}\right) = 0$

$H(\omega_k)$ $\omega_k$ $b_k$ $a_k$ $H(\omega)$

この手法にはいくつかの利点があります。

任意の複素数（振幅と位相）の周波数応答をテンプレートとして使用できます。大きさの制約しかない場合は、線形位相などの位相応答を選択するだけで済みます。
$a_k$
この手法は実装が非常に簡単で、必要なシステムの順序に基づいて簡単にパラメーター化できます。
$N$

このメソッドを少し拡張して、必要に応じて加重最小二乗最適化を使用できます。これにより、近似誤差が他よりも重み付けされる周波数応答の領域を指定できます。これにより、通過帯域/阻止帯域の領域をより厳密に制御する一方で、「ドントケア」領域での傾斜をより多くすることができます。

— ジェイソンR
ソース

すばらしい答え!! 最小二乗誤差でフィルター設計を行う際の「芸術」は、正確に「誤差」が何であるかを適切に定義することです。これは、適切な周波数グリッドを選択し、特定の周波数で係数を重み付けし、帯域外の動作と、極を単位円内に保つための制約を追加することによって制御されます。

— Hilmar、2012年

この潜在的なソリューションの問題は、既存の伝達関数について位相が不明である場合、次数が正確に推定されていても、振幅応答が測定されていても、誤った位相が想定されている場合、FDLSは誤ったソリューションに収束する可能性があります。

— hotpaw2 2013年

@ hotpaw2：それは予想されることです。位相応答について何もわからない場合は、等しく有効な解が無数にあります（つまり、それらには正しい振幅応答があります）。あなたはあなたがあなたが最も適切な解決策であると考えるものにあなたを導くためにいくつかの情報を必要とするでしょう。

— Jason R

@JasonR：唯一の正しい解決策は、極/零点の内側/外側の反転の順列である必要があります。これは、（既存の）有限次数系の有限数です。

— hotpaw2 2013年

私の同僚は、ベクトルフィッティングで素晴らしい結果を出しました：

ベクトルフィッティングは、周波数領域での有理近似のための堅牢な数値手法です。単一または複数の入出力システムの両方について、測定または計算された周波数応答から状態空間モデルを直接識別することができます。結果として得られる近似は、実数であるか、複素共役ペアになる安定した極を保証します。

FIRからIIRへの変換に使用します。

要求の少ないアプリケーションでは、固定数の極と零点に対して非線形最小二乗フィッティングを使用できます。これはMatlabでinvfreqsおよびとして実装されinvfreqzます。

— ニボット
ソース

別のアプローチ：周波数応答をプロットし、ボード線図を可能な限り最適化します。これは、近似解の場合は非常に迅速に行うことができますが、より適切なフィットを得るために精巧な最小二乗の意味で行うことができます。GTH

— Gハイト
ソース