LO周波数付近のアナログノイズと、IQ復調後のIQ平面にあるポイントの統計値との定量的な関係を計算します。質問を完全に理解するために、最初にIQ復調システムの詳細を説明します。

IQ復調システム

IQミキサーは、高周波で信号を取得し、信号をより低い周波数にすることで、より簡単に処理できるようにします。図1に、IQミキサーの回路図を示します。局部発振器（LO）信号$\cos(\Omega t$）を使用して、RF信号をより低い周波数にミキシングします。

図1：完全な信号処理チェーン。マイクロ波周波数信号（およびノイズ）は、RFポートを介してIQミキサーに入ります。この信号は、局部発振器（LO）と混合され、中間周波数信号およびに変換されます。次に、中間周波数信号をフィルタリングして、残りの高周波成分（テキストを参照）を削除し、デジタルサンプリングします。各周波数成分の振幅と位相の検出は、デジタルロジックの離散フーリエ変換を介して行われます。$I$$Q$

コヒーレント信号-DCケース

入力RF信号があると仮定します。次に、および信号は これらの信号をローパスフィルターに通して項 を削除し、 ご覧のとおり、dcと$M \cos(\Omega t + \phi)$$I$$Q$

$$\begin{align} I(t) &= \frac{M}{2} \cos(\phi) + \frac{M}{2} \cos(2\Omega t + \phi) \\ Q(t) &= -\frac{M}{2} \sin(\phi) - \frac{M}{2} \sin(2\Omega t + \phi) \, . \end{align}$$ $2 \Omega$ $$\begin{align} I_F(t) &= \frac{M}{2} \cos(\phi) \\ Q_F(t) &= -\frac{M}{2} \sin(\phi) \, . \end{align}$$ $I$$Q$電圧は、元の信号の振幅と位相を与えるデカルト座標と考えることができます。したがって、ミキサは、低周波測定のみを行うことによって高周波信号の振幅と位相を検出できるようにするという役割を果たしています。

コヒーレント信号-ACケース

実際には、通常、RF信号をDCに復調しません。これにはいくつかの理由があります。

1. ノイズスペクトル密度は、ほとんどの場合、低周波数で急激に増加します。

2. 異なる周波数でいくつかの正弦波コンポーネントの振幅と位相を同時に測定する場合、システムのアナログ部分で直接DCに復調することはできません。

＃2に関連する例として、 両方の周波数成分の振幅と位相を見つけるために、少し複雑な信号処理を使用する必要があります。この場合のおよび波形は、 両方の振幅と両方の位相を見つけるには、基本的にフーリエ変換を実行する必要があります。これを行うには、波形をデジタル化して、

$$\begin{equation} RF(t) = M_1 \cos([\Omega + \omega_1] t + \phi_1 ) + M_2 \cos([\Omega + \omega_2] t + \phi_2) \, . \end{equation}$$ $I_F$$Q_F$ $$\begin{align} I_F(t) &= \frac{M_1}{2} \cos(\omega_1 t + \phi_1) + \frac{M_2}{2} \cos(\omega_2 t + \phi_2) \\ Q_F(t) &= -\frac{M_1}{2} \sin(\omega_1 t + \phi_1) - \frac{M_2}{2} \sin(\omega_2 t + \phi_2) \, . \end{align}$$ $$\begin{align} I_n &= \frac{M_1}{2} \cos(\omega_1 n \delta t + \phi_1) + \frac{M_2}{2} \cos(\omega_2 n \delta t + \phi_2) \\ Q_n &= - \frac{M_1}{2} \sin(\omega_1 n \delta t + \phi_1) - \frac{M_2}{2} \sin(\omega_2 n \delta t + \phi_2) \end{align}$$ ここで、はデジタルサンプリング間隔です。次に、デジタルロジックで、定義される複素数系列を作成します。上記の信号の場合、これは もし今、デジタルロジックで、合計を計算する場合 $\delta t$$z_n$$z_n \equiv I_n + i Q_n$ $$\begin{equation} z_n = \frac{M_1}{2} \exp \left( i \left[ \omega_1 n \delta t + \phi_1 \right] \right) + \frac{M_2}{2} \exp \left( i \left[ \omega_2 n \delta t + \phi_2 \right] \right) \, . \end{equation}$$ $$\begin{equation} Z(\omega_k) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} z_n e^{-i \omega_k n \delta t} \end{equation}$$ 周波数コンポーネントの振幅と位相を回復します。たとえば、を計算すると、ます。$\omega_k$$Z(\omega_1)$$(M_1/2) \exp(i \phi_1)$

ノイズ

実際には、信号には常にノイズが伴います。ノイズの影響は、決定論的な値ではなく確率変数にすることです。つまり、各はランダムであり、実験の実現ごとに異なります。$Z(\omega)$ $\omega$ $Z(\omega)$

直感から推測できるのは、ノイズが存在する場合、平均は決定論的な値と等しい、IQ平面での円対称の分布です。問題は、ノイズが存在する場合のの統計的分布とは正確には何ですか？$Z(\omega)$$(M/2)\exp(i \phi)$$Z$

処理チェーンの各ステップは線形であるため、ノイズのみがあり、コヒーレント信号がない場合を考えます。ノイズを表す$\xi(t)$。の$I$ そして $Q$ 信号は

$$\begin{align}\ I(t) &= \xi(t) \cos(\Omega t) \\ Q(t) &= - \xi(t) \sin(\Omega t) \, . \end{align}$$ フィルターの効果を時間応答関数とのたたみ込みとして表現します $h$、 $$\begin{equation} I_F(t) = \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') \cos(\Omega t') h(t - t') \end{equation}$$ 同様に $Q_F$。フィルターは因果関係があるため、$h(t)=0$ ために $t<0$。サンプリングは単に値を選択します$I_F$ そして $Q_F$ 当時 $\{ n \delta t \}$、 $$\begin{equation} I_n = \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') \cos(\Omega t') h(n \delta t - t') \end{equation}$$ 同様に $Q_n$。上記の処理チェーンのデジタル部分の構成に従って、 $$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') e^{-i \Omega t'} h(n \delta t - t') e^{-i \omega n \delta t} \, . \end{equation}$$ したがって、問題はこの式の統計を計算することです。

変数の変更 $n \delta t - t' \rightarrow t'$ 作り出す

$$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(n \delta t - t') e^{-i \Omega (n \delta t - t')} h(t') e^{-i \omega n \delta t} \, . \end{equation}$$ この段階で、次の平均値を計算することにより、健全性チェックを実行できます。 $Z(\omega)$。これはアンサンブル平均であることを覚えておいてください。つまり、次の平均値を計算しています。$Z(\omega)$これは、復調されたノイズの多くのインスタンスをIQポイントに変換し、それらすべてのポイントの平均を取ることでわかります。いずれにせよ、結果は $$\begin{align} \langle Z(\omega) \rangle &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \underbrace{\langle\xi(n \delta t - t')\rangle}_0 e^{-i \Omega (n \delta t - t')} h(t') e^{-i \omega n \delta t} \\ &= 0 \, . \end{align}$$ これは、ノイズが復調されたIQポイントの平均値を変更するのではなく、決定論的値を中心とするランダム性を追加するだけであることを期待しているため、理にかなっています。

の統計を計算する方法がわかりません $Z(\omega)$ 直接なので、代わりに $Z(\omega)$。中心極限により、の実数部と虚数部の定理$Z$ 少なくともおよそガウス分布している必要があります（そして、後で説明するように、無相関です）。 $Z$ 実際に知っておくべきことをすべて教えてください。

直接構築して進めます $|Z(\omega)|^2$ and taking the statistical average (statistical average is denoted by $\langle \cdot \rangle$).

$$\begin{align} \langle \left| Z(\omega) \right| ^2 \rangle &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dt' \, dt'' \, \frac{1}{N^2} \sum_{n,m=0}^{N-1} \nonumber \\ & e^{i\Omega (t' - t'')} h(t') h(t'') \langle \xi(n\delta t - t') \xi(m\delta t - t'') \rangle e^{-i(\Omega + \omega)(n - m)\delta t} \, . \qquad (*) \end{align}$$ We now use the Wiener-Khinchin theorem which says that for a stationary stochastic process $\xi(t)$ the statistical average $\langle \xi(\tau) \xi(0) \rangle$ is related to the power spectral density $S_\xi$ via the following equation: $$\begin{equation} \langle \xi(\tau) \xi(0) \rangle = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} S_\xi(\omega) e^{i \omega \tau} \, . \end{equation}$$ Using this formula for $\langle \xi(n\delta t - t') \xi(m\delta t - t'')$ yields $$\begin{align} \langle|Z(\omega)|^2 \rangle &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dt' \, dt'' \, \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi}\frac{1}{N^2} \sum_{n,m=0}^{N-1} \nonumber \\ & e^{i\Omega (t' - t'')} h(t') h(t'') S_\xi(\omega') e^{i\omega' ((n-m)\delta t - (t' - t''))} e^{-i(\Omega + \omega)(n - m)\delta t} \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \left| \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{-i(\Omega + \omega - \omega') n \delta t} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \underbrace{ \frac{1}{N} \left( \frac{\sin([\Omega + \omega - \omega'] \delta t N / 2)}{\sin([\Omega + \omega - \omega']\delta t / 2)} \right)^2 }_{N^{\text{th}}\text{ order Fejer kernel}} \\ &= \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \mathcal{F}_N([\Omega + \omega - \omega'] \delta t / 2) \\ \end{align}$$ where $\mathcal{F}_N$ is the $N^{\text{th}}$ order Fejer kernel. Changing variables $\Omega - \omega' \rightarrow \omega'$ we get $$\begin{equation} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle = \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(-\omega')|^2 S_\xi(\Omega - \omega') \mathcal{F}_N([\omega' + \omega]\delta t / 2) \, . \end{equation}$$ So far the results have been exact and precise results can be found by numeric evaluation of the integrals. We now make a series of relatively weak assumptions to arrive at a practical formula. The Fejer kernel $\mathcal{F}_N(x)$ has weight concentrated near $x=0$. Therefore, we integrate over $S_\xi$ only for frequencies near $\Omega$ and so, in this integral, we can approximate $S_\xi$ as a constant $S(\Omega - \omega') \approx S_\xi(\Omega)$, giving $$\begin{equation} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle = \frac{1}{2N} S_\xi(\Omega) \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(-\omega')|^2 \mathcal{F}_N([\omega' + \omega]\delta t / 2) \, . \end{equation}$$ We can already see here that the noise statistics of the demodulated IQ point depends only on the RF spectral density near the LO frequency. This makes sense; the IQ mixer is designed to take signal content near the LO frequency and bring it down to a lower IF where it can be processed. The anti-aliasing filters remove all frequency components which are too far away from the LO.

The first null of $\mathcal{F}_N(x)$ occurs at $x = 2\pi / N$, and most of the weight is contained in the first few lobes. The first nulls are therefore at

$$\begin{equation} \frac{\omega'_{\text{null}}}{2\pi} = - \frac{\omega}{2\pi} \pm \frac{1}{N \delta t} \, . \end{equation}$$ This means that the integral over $\omega'$ is dominated by frequencies in a range given by the sampling frequency divided by $N$. In most practical applications this range is so small that $h(\omega)$ is roughly constant over this range. If that's the case, we can replace $h(-\omega')$ with $h(\omega)$ (note that $h(-\omega) = h(\omega)$) finding $$\begin{align} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle &= \frac{1}{2N}S_\xi(\Omega)|h(\omega)|^2 \underbrace{ \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \mathcal{F}_N([\omega' + \omega] \delta t / 2 N) }_{1 / \delta t} \\ &= \frac{S_\xi(\Omega)}{2 T} |h(\omega)|^2 \end{align}$$ where $T \equiv N \delta t$ is the total measurement time.

Signal to noise ratio

It is reasonably well known that if a random variable $Z$ has Gaussian and independently distributed real and imaginary parts, and has average squared modulus $R$, then the distributions of the real and imaginary parts of that variable have standard deviation $\sqrt{R/2}$.$^{[a]}$ Therefore, taking our result for $\langle |Z(\omega)|^2 \rangle$, our observation that the real and imaginary parts of $Z$ are Gaussian distributed, and the fact that they're uncorrelated,$^{[b]}$ we know that the standard deviations of the distributions of the real and imaginary parts are

$$\begin{equation} \sigma = \sqrt{S_\xi(\Omega) |h(\omega)|^2 / 4 T} \, . \end{equation}$$ As discussed at the beginning, a signal $M \cos([\Omega + \omega] t + \phi)$ becomes $(M/2)e^{i \phi}$ in the IQ plane. Of course there we ignored the effect of the filter which is simply to scale the amplitude to $$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{M |h(\omega)|}{2} e^{i \phi} \, . \end{equation}$$ Suppose, as illustrated in Figure 2, we are using the IQ demodulation system to distinguish between two or more signals, each with a different phase but with all the same amplitude $M$. Due to the noise, each of the possible amplitude/phases leads to a cloud of points in the IQ plane with radial distance $M |h(\omega)|/2$ from the origin. The distance between two clouds' centers is $g(M/2)|h(\omega)|$ where $g$ is a geometrical factor which depends on the phases of the clouds. If the arc angle between two clouds is $\theta$ and each cloud's center is equidistant from the origin then $g = 2 \sin(\theta / 2)$. For example, if the two phases are $\pm\pi/2$ then $g=2 \sin(\pi/2) = 2$. Geometrically this is because the distance between the clouds' centers is twice bigger than the distance of either cloud from the origin.

The signal to noise ratio (SNR) is

$$\begin{align} \text{SNR} & \equiv \frac{\text{separation}^2}{2 \times (\text{cloud std deviation})^2} \\ &= \frac{(g M |h(\omega)|/2)^2}{2 S_\xi(\Omega) |h(\omega)|^2 / 4T} \\ &= \frac{(g M)^2 T}{2 S_\xi(\Omega)}\\ &= \frac{g^2 P T}{S_\xi(\Omega)} \, . \end{align}$$ where $P \equiv M^2/2$ is the incoming analog power. Note that the SNR does not depend on $h$. To remember this result, note that the noise power is the spectral density multiplied by a bandwidth $B$. Taking $B = 1/T$ we see that our result just says that the SNR in the IQ plane is exactly equal to the analog SNR multiplied by the geometrical factor $g^2$.

Figure 2: Two IQ clouds. The separation between the clouds' centers is proportional to their radial magnitude $M$, but scaled by a geometrical factor $g$. Projected onto the line connecting their centers, each cloud becomes a Gaussian distribution with width $\sqrt{S_\xi(\Omega)|h(\omega)|^2/4T}$.

$[a]$: Look up the chi square distribution.

$[b]$: We can see that the real and imaginary parts of $Z$ are in fact uncorrelated by writing the equivalent of equation $(*)$ but for $\langle \Re Z \Im Z \rangle$. Doing this we'd find that the sum which turned into the Fejer kernel in the case for $\langle |Z|^2 \rangle$ would go to zero (at least approximately) because it would be roughly the overlap of a sine and cosine, which are orthogonal.