表記と表記の違いは何

フーリエ変換とラプラス変換を理解しようとしています。と表記の違いは何ですか？ $X(j\omega)$ $X(\omega)$

意味は何ですか？頻度を表すものですか？もしそうなら、虚数周波数の意味は何ですか？ $j\omega$

前もって感謝します。

fourier-transform laplace-transform

— Verdery
ソース

ラプラス変換は2D S平面全体をカバーします。フーリエ変換は、jω軸に沿ったその平面の1Dスライスに過ぎません

— エンドリス

どちらの表記も一般的で正しいものです。Yuri Nenakhovが指摘したように、引数利点は、実数部がゼロときに複素数（ラプラス変換）変数と一致することです。複素平面では、周波数軸は虚軸であることに注意してください。したがって、は複素数の周波数とは関係ありません（意味がありません）。 $j\omega$ $s$ $s$ $j\omega$

したがって、信号のラプラス変換が存在し、虚軸がその収束領域内にある場合、フーリエ変換は設定することで得られます。 $X(s)$ $x(t)$ $s=j\omega$

これは一般的に機能しないことに注意してください！一般に、を、またはその逆に置き換えることによってフーリエ変換を取得することはできません。これが正しい結果につながるためには、2つの条件を満たす必要があります。 $s$ $j\omega$

両方の変換が存在する必要があります（対応する信号にラプラス変換とフーリエ変換があるという意味で）。 $x(t)$
虚数軸は、ラプラス変換の収束領域内になければなりません。 $s=j\omega$

両方の変換が存在しても、をで置き換えても機能しない例は、ステップ関数です。 $s$ $j\omega$

\begin{aligned} x (t) = u (t) \\ Laplace transform: & X (s) = \frac{1}{s} \\ Fourier transform: & \hat{X} (j ω) = π δ (ω) + \frac{1}{j ω} \neq X (s) |_{s = j ω} \end{aligned}

$\begin{align}&x(t)=u(t)\\\text{Laplace transform: }&X(s)=\frac{1}{s}\\ \text{Fourier transform: }&\hat{X}(j\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\neq X(s)|_{s=j\omega}\end{align}$

— マットL.
ソース

私はあなたの例に同意しません。明らかに、Heaviside関数のラプラス変換はs = 0には存在せず（また、これは分析の継続によってのみ虚軸にも存在します）、独自の要件は満たされません。また、フーリエ変換とラプラス変換は、両方が定義されている場所で一致することに注意してください。

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac：ステップ関数のラプラス変換が存在します。極があります。これは、ラプラス変換が存在しない場合（）とは異なります。のフーリエ変換が（これは間違っている）を設定することによってから取得できると言っていない場合、それが何であるかはわかりませんあなたが言っている。

s = 0

$s=0$

x (t) = \sin (ω t)

$x(t)=\sin(\omega t)$

x (t) = u (t)

$x(t)=u(t)$

X (s)

$X(s)$

s = j ω

$s=j\omega$

— Matt L.

ラプラス変換はs = 0には存在せず、厳密に言えば、実数= 0にも存在しないと言っています。不適切な積分はそこで収束しません。これを修正するには、コーシー主値割り当てを積分に適用するか、実数> 0でラプラス変換を分析的に続行します。しかし、何をしても、s = 0の場合は修正できません。したがって、ラプラス変換は虚数軸上のすべての場所に存在するわけではありません。厳密に言えば、適切な意味で虚数軸上のどこにも存在しません。

— Jazzmaniac

これが、またはでラプラス変換とフーリエ変換の不一致が予想できる最小の理由です。それはあなたがで正しい結果を得ることをはるかに解析接続のいくつかの素敵な性質から、次の幸運な偶然の一致以上ではありませんために。したがって、私はあなたの例に同意しますが、「両方の変換が存在するにもかかわらず...」という前提には同意しません。

s = 0

$s=0$

ω = 0

$\omega=0$

s = ω * j

$s=\omega*j$

ω \neq 0

$\omega \neq 0$

— Jazzmaniac

@Jazzmaniac：わかりましたが、この例のアイデアは、がラプラス変換で、が（すべての）フーリエ変換と等しくない単純なケースを示すことでした。それでも、その例には両方の変換が存在します。明らかに、 ROC はです。ステップ関数には、ラプラス変換とフーリエ変換があります。これは、両方が存在すると言うときのことです。私の要点をもう少し明確にするために、2つのうち1つが存在しない例をあと2つ追加します。

X (s)

$X(s)$

X (j ω)

$X(j\omega)$

ω

$\omega$

X (s)

$X(s)$

R e {s} > 0

$Re\{s\}>0$

— Matt L.

$X(j \omega)$ （周波数応答）は、システムのインパルス応答のフーリエ変換です。実際には周波数の関数（）ですが、式のをに置き換えると、追加の変換なしでシステムのラプラス変換が得られるため、通常はと記述されます。（これは逆方向にも機能します。ラプラス変換がある場合、を置き換えることで周波数応答を取得できます。） $\omega$ $X(j \omega)$ $j \omega$ $s$ $X(s)$ $s$ $j \omega$

— ユリ・ネナホフ
ソース

を、またはその逆に置き換えることは、通常、ラプラス変換またはその逆からフーリエ変換を取得する有効な方法ではないことに注意してください。私の答えを見てください。

s

$s$

j ω

$j\omega$

— Matt L.