フィルタリングと多項式回帰平滑化の違いは？

古典的なローパスフィルタリング（IIRまたはFIRを使用）と、局所化されたN次多項式回帰および/または補間（アップサンプリングの場合）による「平滑化」、特にNが1より大きい場合の違いただし、回帰近似で使用されるローカルのポイント数よりも少ない。

lowpass-filter interpolation

— hotpaw2
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+1すばらしい質問です。あなたは私に打ち負かされました。:-) N = 2を使用するAFAIKは、私たちがよく知っている線形の「古典的な」フィルタリングに対応していますが、これは間違っている可能性があります。

— スペイシー

sinc再構成とスプライン補間：cnx.org/content/m11126/latest 「スプライン補間はsinc補間よりもスムーズです。これは、基数スプラインのサポートがsinc関数のサポートよりもコンパクトであるためです。」

— エンドリス

ローパスフィルタリングと多項式回帰平滑化の両方は、関数の近似として見ることができます。ただし、これを行う方法は異なります。ここで重要な質問は、「一方を他方の面で行うことができますか？」です。以下に説明する理由により、短い答えは「常にではない」です。

キー操作をフィルタリングすることによって平滑化畳み込みである場合、周波数領域にに変換、ここで、表します離散フーリエ変換（およびは逆）。離散フーリエ変換（例：）は、近似を提供します $y(n)=x(n)*h(n)$ $y=F^{-1}(F(x)F(h))$ $F$ $F^{-1}$ $F(x)$ $x$ 三角関数の合計として。場合ローパスフィルタであり、低周波成分の少ない数は保持され、の急激な変化平滑化されます。これは、基底関数として三角関数を使用することにより、関数近似のコンテキストでローパスフィルタリングを設定しますが、畳み込み式を再検討して、フィルタリング時にy（n）（フィルターの出力）がおよびの過去のサンプルの加重合計（ここでの加重は「形状」によって決定されます）。（もちろん、の過去の値を追加したIIRフィルターについても同様の考慮事項が適用されます $h$ $x$ $x(n)$ $x$ $h$ も） $y(n)$

ただし、n次多項式で平滑化する場合、内挿の出力はと（異なる）基底関数の混合（単項とも呼ばれます）のみに依存します。これらの異なる基底関数とは何ですか？これは定数（）、線（）、放物線（）などです（素敵なイラストについてはこれを参照してください）。ただし、通常、等距離のサンプルを時間内に処理する場合、および精度を処理するために使用されるのは、ニュートン形式の多項式です。 $x(n)$ $a_0x^0$ $a_1x$ $a_2x^2$ 。私がこれを引用している理由は、線形補間を実行するときに、利用可能なサンプルの線形重み付き合計を返すフィルターカーネルを構築できることがわかりやすいからです。 2つのサンプル間。しかし、より高い次数では、2つの近似方法は異なる結果を返します（基底関数の違いのため）。

上で書いたように、過去の値を考慮しないことは厳密ではありません。これは微妙な点です。通常、多項式を構築するとき、指定された間隔（信号の「過去」と「将来」）の外側の値は考慮されないためです。ただし、区間の端で導関数を固定することにより、これらを含めることができます。そして、これが繰り返し行われる場合（重複しないスライディングウィンドウのように）、効果的に、x（n）の「過去のサンプル」が考慮されます。（これは、スプラインが使用するトリックであり、実際にはバイキュービック補間のための畳み込み式があります。ただし、の解釈は注意してください $x(n)$ $x$ スプラインについて話すときが異なる -正規化に関するポイントに注意してください-）

たとえば「Sinc Interpolation」の場合など、フィルタリングを補間として使用する理由は、物理的な観点からも理にかなっているためです。時間領域での帯域制限システム（光学システムの（線形）アンプまたはレンズなど）の理想的な表現は、sincパルスです。sincパルスの周波数領域表現は、長方形の「パルス」です。したがって、仮定が非常に少ないため、欠損値はその近傍に（ほぼ制限内で）多かれ少なかれ期待されます。これが何らかのn次多項式（より高いnの場合）で実行された場合、欠損値が常に現実的ではない可能性のある近傍に関連する方法を「修正」します（なぜ音圧値はマイクに当たる波面は、形に固定する必要がありここでの心理物理学の観点は、脳の処理を伴います（ランチョスのリサンプリングを参照例えばそれは音源がどのように振る舞うかという仮定を置きますが、それは常に真実ではないかもしれません。私は、例えばからの補間スキームの適合性を意味しないことに注意してください。客観的に欠損値を「推測」しようとすると、補間によって課せられる制約について厳密に話しています。 $x^3$

普遍的な「最良の方法」はありません。それは、あなたが直面している補間問題にかなり依存します。

これがお役に立てば幸いです。

PS（2つの近似手法のそれぞれによって生成されるアーティファクトも異なります。たとえば、ギブズ現象と過適合を参照してください。ただし、過適合は質問の「反対側」にあります。）

— A_A
ソース

+1すばらしい答え。フォローアップ：1）多項式フィッティングでx [n]の過去の値を考慮に入れないことに言及しますが、これはx [n]が正弦/余弦の合計であると言ったことに基づく論点ではありませんか？（過去の値が考慮されるかどうか、これはまだ保持されます）。2）この場合、何かが「帯域制限」されているという物理的な解釈に多少混乱しています。すべてが帯域制限されていませんか？つまり、特定の周波数を通過させ、他の周波数を減衰させますか？帯域制限のないシステムの物理的な例は何ですか？ありがとう。

— スペイシー

1）あなたが何を意味するのかを完全に理解していることはわかりませんが、畳み込みと多項式フィッティングからの出力の取得の違いについて言及していました。2）場合によっては、信号とシステムは同じフレームワークの下で扱われます。理論的には帯域制限された（されない信号があるen.wikipedia.org/wiki/...例えば（真）ホワイトノイズ（AS）en.wikipedia.org/wiki/White_noiseが）。OppenheimとWillskyによるSignals＆Systemsには非常に優れた治療法があります。ここでこの用語を使用して、

— bandlimit-

はい、質問を書き直しました-念のために：1）使用する高次の多項式が多ければ多いほど、ポイント間の関係を強制する「バイアス」が大きくなります。（この場合、常により優れているとは限りません。）2）帯域制限について- システム帯域が制限されているわけではないため、特定の周波数のみを取り込み、他の周波数を減衰させるので、これを言う理由について興味がありますか？ありがとう。

— スペイシー

申し訳ありませんが、これは私の注意を逃しました。これらの特定の質問について：1）必ずしも必要ではありません。与えられた例では、iは単項式の「形状」によって課せられた制限に言及していました。2）シグナルとシステムは大いに役立ちます。工学アプリケーションでは数学のサブセットを使用するため、特定の事柄が正確であると言われます。数学のサブセットは、別の分野では帯域制限されていない信号（上記にリンクする真に均一なランダムプロセス（ホワイトノイズ）など）に非常に有効です。

— A_A

いい質問と啓発的な答え。次のようないくつかの洞察を共有したかった。高次多項式のフィッティングがより安定しているルジャンドルの多項式基底（単項基底とは対照的）などの直交多項式基底も存在します。シャノンの補間式（実際には畳み込み演算、したがってフィルタリング演算としても見ることができる）で使用されるsinc基底は帯域制限されたヒルベルト空間の直交基底であるため、直交多項式基底は帯域制限されていない関数のより大きなクラスを近似するのに役立つ可能性がありますそれらとの直交性のパワーを持つ空間。

多項式フィルタリング（補間ではない）も1960年から化学の文献に記載されています。このトピックの再検討に関する優れた講義ノートは、R.Schaferによって書かれたタイトル、What is Savitzky-Golay Filter、リンク：http：// www-inst。 eecs.berkeley.edu/~ee123/fa12/docs/SGFilter.pdf

— ねこ
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