極と零点とは何ですか？

フィルターの極と零点の概念は、MATLABでのフィルターの極-零点プロット生成を通じて、ラボ（講義と同期していない）で紹介されました。講義でポールが方程式の無限大（またはその分母がゼロ）を生成し、ゼロが分子の根をゼロにすることを説明するまで、その重要性はわかりませんでした。私はまだ極と零点が何であるかを完全に理解することができません。誰かが極と零点とは何かについて直感的で簡単な説明をすることができますか？とても有難い。

bが非ゼロの方程式b /（xc）を考えます。xがcに近づくと、比率は無限大になります。したがって、cは極の位置です（グ​​ラフで高くて先のとがったもの）。

cがゼロでない場合の式（xb）/ cを考えます。xがbに近づくと、比率はゼロになります。したがって、bは一般に「ゼロ」と呼ばれるものの場所です。

これはスカラーxだけでなく、複素数xでも実行できるため、極と零点の領域は直線ではなく（複素数）平面上にあります。

比がフィルターの応答について何かを表す場合、入力が応答「ゼロ」またはその近くにあるときにフィルター出力がゼロまたはそれに近いと言うことができます。そして、xが極に近づくと、悪いことが起こり始める可能性があります（電源は、無限アンペアを供給するように要求されたときに喫煙を開始し、数学演算はNaNまたは固定小数点オーバーフローを生成します）

他の良い答えに追加するために、以下のグラフィックスが、より具体的には伝達関数の極と零点をより直感的に理解するのに役立つことがわかりました。

（更新：@Endolithによるこの他の同様の投稿にも出会っただけでとても良いです：極と周波数応答の関係）

以下は、フィルターのインパルス応答のラプラス変換によって与えられる、左半平面に2つの極を持つローパスフィルターの伝達関数です。これはアナログシステムですが、sドメインの代わりにzドメインのデジタルシステムでも同等の描写を行うことができます。

左側のプロットは、s平面上の位置を示す極とゼロに導入されたときに見られる典型的な図で、極は方程式X（s）が無限大になるsの値であることに注意してください方程式X（s）をゼロにするsの値。つまり、この特定のシステムでは、無限大に2つのゼロが存在します。これは、sのこれらの値によって方程式がゼロになるためです。

右側は、複素平面上のsのすべての値のX（s）の大きさを示す3Dプロットです。興味深いのは、これが多項式のこのような比率から生じる唯一のプロットであることです。これにより、極とゼロの位置から単純に完全に説明しました。したがって、この場合、このサーフェス上のすべてのポイントは、指定された2つの極の位置から単純に伝達されます。

特に、フィルターまたはシステムの周波数応答に関心があることがよくあります。sは、複素平面上で実数部と虚数部を持つことができる入力です。具体的には、sが定数の虚数のみを持つ場合、一定の周波数を表します。したがって、に沿ってスライス$j\omega$ すべての振幅の3Dプロットの軸は、上記のプロットの右上隅に示されているように、フィルターの振幅応答を示します（これは、フィルターのインパルス応答のフーリエ変換の振幅と同等です）。

上の3Dグラフィックに表示されていないのは、システムが因果的であるか反因果的であるかに応じて、ラプラス変換が有限値に収束するsのすべての値を示す「収束領域」です。

ネットワーク（ブラックボックス）の伝達関数は、一般に分子と分母の多項式をもつ有理関数です。ガウスの代数の基本定理によれば、多項式は多項式のゼロの積として書くこともできます。したがって、分母多項式の零点は伝達関数の極を作成します（1 /ゼロ=無限大->極）。分子多項式のゼロは、伝達関数のゼロです。

参照：http : //www.rfcurrent.com/poles-and-zeroes

まず、z平面が複雑な指数信号のセットとして表示されます。もし$z = z_0$、次に対応する離散信号 $Re(z^n) = Re(z_0^0),\ Re(z_0^1),\ Re(z_0^2),\ ...$。もし$|z_0|<1$、それは減衰する信号です。

第二に、極と零点はIIRシステム、つまりフィードバックのあるシステムを記述するために使用されます。

ゼロは簡単です：システムにゼロがある場合 $z_0$、つまり、 $z_0$z平面では、フィードバックループを通過し、それ自体と完全に位相がずれているため、出力がゼロになります。極は少しトリッキーです：システムに極がある場合$z_0$つまり、システムが妨害されて自由に動くよりも、この信号が生成されます。明らかに、システムに信号を増加させるための極がある場合（$|z_0|>1$）、それは不安定です。フィルターを設計するときは、不要な周波数を抑制するためにゼロを配置する必要があります。極は、

• 渡される周波数のゼロの影響を相殺します
• フィルターは安定したままです