フーリエ変換を一般化する方法は？

フーリエ変換は信号を受け取り、それを一連の正弦波と余弦波に分割します。

私は言いました、機能のいくつか他のセットに信号を分割することは可能ことになっていること。私の質問は、次のとおりです。

これを機能させるには、使用する関数のセットに特定のプロパティが必要だと思います。（たとえば、元の信号のすべての情報をキャプチャするには、「十分な」さまざまな関数が必要です。）関数のセットが適切であるかどうかをどのように判断しますか？そして、実際の分割はどのように行うのですか？

フーリエ変換は、（通常）時系列の表現を時間領域から別の領域（通常は周波数領域ですが、時間/周波数、時間などの他の変換のための他の表現が存在する）に変更する非常に多くの異なる変換の1つにすぎません/スケールなど）。

一般的なトランスフォームの詳細については、このWikipediaの記事のリストを参照してください。このリストには、よく使用され、よく使用されるトランスフォームがいくつかリストされています。（最初に、離散変換と積分変換に集中することをお勧めします）

または、ウェーブレット変換がフーリエ変換と同様の分解を実現する方法に関するこの最近の議論を確認することもできます。

最後に、同じ現象から多くの異なる時系列を同時に取得する余裕がある場合は、主成分分析（PCA）や独立成分分析（ICA）などの手法を使用して、信号を変換して、 （フーリエ（および関連する変換）またはウェーブレットで行われるように事前設定されるのではなく）信号自体から実際に抽出される基本波形の合計。

ここで与えられた答えに加えて、分解の一意性や完全性さえも最も求められている特性ではない状況があることを付け加えておきます。代わりに、可能な限り少ない係数の「コンパクト」な記述が求められ、この効果のために、要素の1つの「ファミリー」（たとえば、正弦波）にバインドされていない分解基底を持つことは有用です。そのような状況では、分解に使用するベースに実際に何でも置くことができ、分解自体はマッチング追跡アルゴリズムを使用して実行されます。これは、非常に安定した持続的なセグメント（ビブラフォンの音の長く減衰するほぼ純粋な音）と、一時的な部分（最初の非常に広帯域のエネルギーのバースト）の両方を示す可能性があるオーディオ信号に適していることがわかります注の）。

フーリエ変換は、関数を他のいくつかの関数の加重和として表現する多くの方法の1つであり、多くの場合、基底関数と呼ばれます。これには2つの理由があります。

1. 基底関数は、物理的な意味を持ち、元の関数の性質に何らかの洞察を与えることができます。基底関数は、関数の「構成要素」と見なすことができます。
2. それは数学をより簡単にすることができます。関数に対してなんらかの操作を行う代わりに、関数を基本関数に分割し、基本関数を操作してから、再びまとめて戻すことができます。

フーリエ変換は、両方を行うため人気があります。基本関数は正弦波であり、「周波数」パラメーターは物理的に明確に定義されており、線形時間不変システムに対しても不変です。つまり、正弦波を入力すると、正弦波が出力されます。どちらのプロパティも非常に便利です。フーリエ変換は、これを行う唯一の方法ではありません。線形独立関数の任意のセットを使用できます。実際の変換が非常に簡単になるので、正規直交ベースが人気です。