遷移帯域が狭いデジタルフィルターの出力にリンギングが見られるのはなぜですか？

オーディオを使用したスペクトルマングリングタイプエフェクトの「極端な」eqを実行しています。私はレンガの壁フィルターと非常に狭い帯域通過フィルターとリジェクトフィルター（vstプラグイン）を使用しています。 。残念ながら、急勾配のeq勾配を使用する必要があります。プリリングを回避するため、最小フェーズを使用する準備ができています。

具体的には、私は疑問に思っています：

1. 最小位相フィルターで、入力直後のインパルス応答に振動が発生する原因は何ですか？

2. これらの振動は、急勾配スロープフィルタリングでパスバンドに追加される可聴プリおよびポスト「リンギング」音の原因ですか？

3. 振動、したがってリンギング周波数は常に同じ周波数ですか、またはリンギング周波数は何らかの方法で入力信号に依存していますか？

あなたの専門知識をありがとう。返事をお待ちしております。デール。

OPによる修正された質問と追加のコメントに応じて編集されました。

私は、フィルターのリンギングがギブス現象によるものであるという@JasonRの主張に同意しません。

ジェイソンの答えにリンクされているウィキペディアの記事で説明されているように、ギブス現象は、矩形波やのこぎり波などの周期的だが不連続な信号のフーリエ級数の切り捨てられた合計（最初の 項）の漸近的挙動に関する観察です。Wikipediaの記事は方形波の例を示しており、より多くの用語が取られる（nが大きくなる）につれて、切り捨てられたフーリエ和が方形波にますます近づくことを示しています。そこから方形波遷移スイッチング瞬間の周りに発生する振動である高に低いその逆または副は、これらはとしてますます小さくなって$n$$n$$n$大きくなります。ジェイソンが正しく指摘すると、振動の振幅が小さくなり、周波数が増加し、（観測される）持続時間も小さくなります。全体として、切り捨てられたフーリエ合計は、n → ∞の極限で方形波に収束しているように見えます。$n \to \infty$

$n$$\infty$$n$$n$

それでは、なぜリンギングが発生するのでしょうか？ すべて（非自明）フィルターは、ブリックウォールであるかどうか、入力信号の形状、および入力が連続的であるか鋭い遷移があるかに関係なく鳴ります。その理由は、入力が停止する周波数帯域にエネルギーがある場合（全体または大部分）、そのエネルギーはフィルター内に効果的に保存され、時間の経過とともに帯域内エネルギーとしてゆっくりと放出されるためです。ほとんどの場合、このリリースは、存在する帯域内信号への応答によって消されてしまうため、あまり注目されていません。ただし、帯域内信号が比較的突然変化する（または停止する）場合、以前の時間から保存されたエネルギーを解放する必要があり、これは帯域内信号が消えた後に観測されるリンギングです。DSPの用語では、FIRフィルターバッファーは、信号が終了した後も空のままであるため、出力は信号が終了した後も継続します。シャープカットオフフィルターには長いバッファー（必要に応じて多数のバイカッドセクション）があるため、この空にするのに時間がかかり、非常に簡単に空になるフィルターよりもずっと目立ちます。

あなたの観察はギブス現象の例です。非常に鋭い遷移帯域でフィルターを適用すると、入力信号の急激な遷移（パルス波形の境界など）の近くでフィルター出力の振動（または「リンギング」）が観察されます。振動の見かけの「周波数」は、フィルターの帯域幅に依存します。フィルタのカットオフ周波数を上げると、振動は時間的に局所化されます（つまり、「周波数が高くなります」）が、ピークオーバーシュートは変化しません。上にリンクされたウィキペディアの記事には、途中くらいで良い説明があります。

1. ジェイソンがそこに指摘したように、基本的な「不確実性の原則」：周波数が非常に狭いものはすべて時間的に広く、その逆も同様です。
2. 最小フィルターを使用する場合、事前呼び出しはなく、後呼び出しのみが必要です。プリリンギングは線形位相フィルターでのみ発生します。プリリンギングはポストリンギングよりもはるかに聞き取りやすいため、ここでは最小のフィルターを選択する方が適しています。測定では悪く見えるかもしれませんが、極端な場合を除いて、人間の聴覚系のマスキング特性のためにポストリンギングはあまり聞こえません
3. 通常、リンギングはフィルターのコーナー周波数に正確に一致します。つまり、2 kHzローパスフィルターは2 kHzのリンギングを生成するため、周波数はコンテンツではなくフィルターの関数です。ただし、コンテンツは異なる方法で興奮します。コンテンツが2 kHzとほとんどまたはまったくない場合、呼び出し音はあまり興奮しません。

急峻な遷移と平坦な通過帯域を持つバンドパスフィルターは、長方形に近づきます。

1つのFTドメインの長方形は、他のドメインのSinc関数です。これは、周波数領域でスペクトルの「漏れ」を生じさせる時間領域の長方形ウィンドウに当てはまります。または、周波数領域の長方形のウィンドウの場合、時間領域でスパイラルパケットを作成します。長方形（帯域幅）が狭いほど、Sincは広くなります。（Sinc関数は両側に「リング」を付けます）。1つのドメインの幅に対して、他のドメインのSincよりもエネルギー範囲を狭くする唯一の方法は、長方形よりもガウスに近いものを使用することです。たとえば、急なエッジはありません。

次に、その長方形を1つのドメイン内でシフトすることを検討します（たとえば、バンドパスフィルターの通過帯域周波数を変更する）。1つのDFTドメインでの循環シフトは、他のドメインでの線形位相回転です。複素共役と合計して実際の応答を取得し、逆方向に高速で回転する2つの複素指数スパイラルパケットがリンギング時間領域応答になります。リンギングの速さはバンドパスの中心周波数に関連し、リンギングの長さは帯域幅の狭さおよび遷移の急峻さに関連します。エンベロープが消滅する前にスパイラルが半回転以上回転すると、リンギングが発生します。あるドメインでそのエンベロープをより速く消滅させる方法は、他のドメインでより広い丸め関数を使用することです。

パート2：

RemezまたはParks-McClellenツールを使用してフィルターを設計している場合、等リップル応答になります。一方のFTドメインの正弦波は、他方のインパルスです。したがって、周波数領域の等リップルはインパルス、つまり時間領域の「ティック」になります。その「ティック」は、インパルス応答の中心から、周波数領域のリップルの「周波数」だけ変位します。Remezで設計されたフィルターが平坦になるほど、リップルが速くなり、「ティック」がインパルス応答からより多く変位します。それはプレリングの一部です。それを避けるために、それほど積極的でないフィルター設計手法を使用してください。