位相遅延と群遅延の違いは何ですか？

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DSPを勉強していますが、位相遅延と群遅延の違いを理解するのに苦労しています。

どちらもフィルターを通過した正弦波の遅延時間を測定しているように思えます。

これを考えるのは正しいですか？
その場合、2つの測定値はどのように異なりますか？
誰かが一方の測定がもう一方の測定よりも有用である状況の例を挙げることができますか？

更新

Julius Smithの「デジタルフィルターの概要」を読んで、2つの測定値が少なくとも異なる結果を与える状況を見つけました：アフィン位相フィルター。それは私の質問に対する部分的な答えだと思います。

— dB '
ソース

このページは役に立つかもしれません。計算なしで、群遅延とその影響を説明します。

— user5108_Dan

ウィキペディアのページでは、定義と違いを数学的に詳しく説明しています。線形位相フィルターがある場合、群遅延と位相遅延は同じ値であり、単にフィルターのスループット遅延です。有する任意の一般的なフィルタのためのいくつかの DCでの利得（すなわちないHPFやBPFと

DCにおけるdB）を直流に極性反転を有さない、群遅延と位相遅れが同じ値であり、近隣DCにあります。

- \infty

$-\infty$

— ロバートブリストージョンソン

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まず、すべての定義が異なります。

位相遅延：（負の）位相を周波数で除算
群遅延：（負の）位相と周波数の1次導関数

言葉で言うと：

位相遅延：周波数のこのポイントでの位相角
群遅延：周波数のこのポイント周辺の位相の変化率。

どちらを使用するかは、アプリケーションによって異なります。群遅延の古典的なアプリケーションは、AMラジオなどの変調された正弦波です。変調信号がシステムを通過するのにかかる時間は、位相遅延ではなく群遅延によって与えられます。別のオーディオの例としてはキックドラムが挙げられます：これは主に変調された正弦波です。そのため、キックドラムがどれだけ遅延するか（時間内にスミアが発生する可能性があるか）を判断したい場合、グループ遅延がそれを見る方法です。

— ヒルマー
ソース

「周波数のこの時点での絶対位相」は、単に「位相」と呼ばれませんか？

— エンドリス

「相対」と比較して「絶対」を意味していましたが、これは「絶対値」と混同されることがあります。編集します

— ヒルマー

f

$f$

f

$f$

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両方とも、正弦波がどれだけ遅れるかを測定しません。位相遅延はそれを正確に測定します。群遅延はもう少し複雑です。振幅エンベロープが適用された短い正弦波を想像してください。これにより、たとえばガウスに正弦波を乗算したものがフェードインおよびフェードアウトします。このエンベロープには形状があり、特に、その「パケット」の中心を表すピークがあります。グループ遅延は、振幅エンベロープがどれだけ遅延するか、特にそのパケットのピークがどれだけ移動するかを示します。

これについては、群遅延の定義に戻って考えるのが好きです。それは位相の微分です。導関数は、その時点での位相応答の線形化を提供します。言い換えると、ある周波数では、群遅延は、近隣の周波数の位相応答がそのポイントでの位相応答にどのように関係するかをおおよそ伝えています。さて、振幅変調正弦波の使用方法を思い出してください。振幅変調は正弦波のピークを取り、隣接する周波数に側波帯を導入します。そのため、ある意味で、群遅延は、その搬送波周波数に対して側波帯がどのように遅延するかについての情報を提供し、その遅延を適用すると振幅エンベロープの形状が何らかの方法で変更されます。

クレイジーなこと？因果フィルターは、負の群遅延を持つ可能性があります！ガウスに正弦波を掛けてください。アナログ信号を送信すると、入力の前にエンベロープのピークが出力に現れるようにアナログ回路を構築できます。フィルターは将来を「見る」必要があるように見えるため、逆説のように思えます。それは間違いなく奇妙ですが、それを考える方法は、エンベロープが非常に予測可能な形状を持っているため、フィルターはすでに何が起こるかを予測するのに十分な情報を持っているということです。信号の途中にスパイクが挿入された場合、フィルターはそれを予測しません。これについては本当に興味深い記事があります：http : //www.dsprelated.com/showarticle/54.php

— シュナーフ
ソース

「picture a ...」と言うと、実際の画像がここで本当に役立ちます。

— ガブリエルステープルズ

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まだチョークできない人にとって、ここの違いは簡単な例です

$v(t)$

v (t) \cdot \sin (ω t)

$v(t) \cdot \sin(\omega t)$

この信号を伝送ラインの端で測定すると、次のようになります。

v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω t + ϕ) = v (t - τ_{g}) \cdot \sin (ω (t - τ_{ϕ}))

$v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega t + \phi)\\ = v(t-\tau_g) \cdot \sin(\omega (t - \tau_\phi))$

$\phi$

$\sin(\omega t)$ $\tau_\phi = -\tfrac{\phi}{\omega}$

$v(t)$ $\tau_g = -\tfrac{d\,\phi}{d\,\omega}$

位相遅延は単一周波数の単なる移動時間であり、グループ遅延は複数の周波数の配列が適用される場合の振幅歪みの測定値です。

— スワプニル・パリハル
ソース

3

フィルターの位相遅延は、フィルターを通過する際に各周波数成分が受ける時間遅延の量です（信号が複数の周波数で構成されている場合）。

群遅延は、周波数の各成分で受ける複合信号の平均時間遅延です。

— サイード
ソース

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これはかなり古い質問であることは知っていますが、インターネット上での群遅延と位相遅延の表現の導出を探していました。ネットにはそのような派生物はあまりないので、見つけたものを共有すると思いました。また、この答えは直感的な説明よりも数学的な説明に近いことに注意してください。直感的な説明については、上記の回答を参照してください。だから、ここに行く：

a (t) = x (t) c o s (ω_{0} t)

$a(t) = x(t)cos(\omega_0 t)$

H (j ω) = e^{j ϕ (ω)}

$H(j\omega) = e^{j\phi(\omega)}$

A (j ω) = \frac{1}{2 π} X (j ω) * (π δ (ω - ω_{0}) + π δ (ω + ω_{0}))

$A(j\omega) = {1 \over 2\pi}X(j\omega) * (\pi\delta(\omega - \omega_0) + \pi\delta(\omega + \omega_0))$

A (j ω) = \frac{X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0}))}{2}

$A(j\omega) = {X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)) \over 2}$

B (j ω) = \frac{e^{j ϕ (ω)}}{2} (X (j (ω - ω_{0})) + X (j (ω + ω_{0})))

$B(j\omega) = {e^{j\phi(\omega)} \over 2} (X(j(\omega-\omega_0))+X(j(\omega+\omega_0)))$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t)

$x(t)$

ω_{0}

$\omega_0$

a (t)

$a(t)$

x (t)

$x(t)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

ϕ (ω) = ϕ (ω_{0}) + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0}) (ω - ω_{0}) = α + β ω

$\phi(\omega) = \phi(\omega_0) + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)(\omega - \omega_0) = \alpha + \beta\omega$

α = ϕ (ω_{0}) - ω_{0} \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\alpha = \phi(\omega_0) - \omega_0\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

β = \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\beta = \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

B (j ω)

$B(j\omega)$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω - ω_{0})) e^{j (ω t + α + β ω)} d ω

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega - \omega_0)) e^{j(\omega t + \alpha + \beta\omega)} d\omega$

ω - ω_{0}

$\omega - \omega_0$

ω^{'}

$\omega'$

\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2} X (j (ω^{'})) e^{j ((ω^{'} + ω_{0}) (t + β) + α)} d ω^{'}

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} X(j(\omega')) e^{j((\omega' + \omega_0) (t + \beta) + \alpha)} d\omega'$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ω_{0} β + α)}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \omega_0\beta + \alpha)}}{2}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

x (t + β) \frac{e^{j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

B (j ω)

$B(j\omega)$

ω_{0}

$\omega_0$

- ω_{0}

$-\omega_0$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

x (t + β) \frac{e^{- j (ω_{0} t + ϕ (ω_{0}))}}{2}

$x(t + \beta)\frac{e^{-j(\omega_0 t + \phi(\omega_0))}}{2}$

b (t) = x (t + \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})) c o s (ω_{0} (t + \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}))

$b(t) = x(t + \frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0))cos(\omega_0(t + \frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}))$

x (t)

$x(t)$

(τ_{g})

$(\tau_g)$

(τ_{p})

$(\tau_p)$

τ_{g} = - \frac{d ϕ}{d ω} (ω_{0})

$\tau_g = -\frac{d\phi}{d\omega}(\omega_0)$

τ_{p} = - \frac{ϕ (ω_{0})}{ω_{0}}

$\tau_p = -\frac{\phi(\omega_0)}{\omega_0}$

— アルコネール
ソース