ディラックの櫛のフーリエ変換がディラックの櫛であるのはなぜですか？

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これは、私には意味がありませんハイゼンベルグ不等式その状態 $\Delta t\Delta \omega$ 〜1。

したがって、時間内に完全にローカライズされたものがある場合は、周波数で完全に分散されたものが得られます。したがって、基本的な関係は $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ ここで、 $\mathfrak{F}$ はフーリエ変換演算子です。

しかし、フーリエ変換を適用したディラックの櫛については、別のディラックの櫛を受け取ります。直感的には、別の行も取得する必要があります。

なぜこの直感は失敗するのですか？

fourier-transform

— カルロス-マングース-危険
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間違いは、ディラックの櫛が時間内にローカライズされると信じることだと思います。それは周期関数であるためではなく、基本周波数の倍数、つまり離散的な周波数ポイントでのみ周波数成分を持つことができるからです。連続スペクトルを持つことはできません。そうでなければ、時間的に周期的ではありません。他の周期関数と同様に、ディラックの櫛は、フーリエ級数、つまり複素指数の無限和として表すことができます。各複素指数は、異なる周波数での周波数領域のディラックインパルスに対応します。これらのディラックインパルスを合計すると、周波数領域でディラックコームが得られます。

— マット・L
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はい、どちらの周期コームもそれぞれの独立変数（時間/周波数）にローカライズされていません。

— ピーターK。

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あなたは間違った仮定から始めているので、あなたの直感は失敗します。ハイゼンベルクの不確実性は、あなたがそれが言うと思うことを言っていません。すでにあなたの質問で言っているように、それは不平等です。正確には、それは

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

不確実性積がすべての信号の下限に近くなければならない理由はありません。実際、この最低限界を達成する唯一のシグナルはガボール原子です。他のすべての信号については、より大きく、場合によっては無限でさえあることを期待してください。

— ジャズマニアック
ソース

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正しいですが、主な誤りは、ディラックの櫛が時間内にローカライズされると考えることです。それは周期的だからではありません。したがって、不確実性定理は、ディラックの櫛について有用なことを何も言っていません。

— マットL.

@MattL。、それは私が元の質問を理解する方法ではありません。彼は実際に、ディラック列はそのネイティブ領域で完全に非局在化されているため、フーリエ変換は非常に局所化されたものにすべきだと主張していると思います。

— ジャズマニアック

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OK、OPが「別の行」によって何を意味するのか誤解があるように見えます。これはフラットスペクトルを指していると思いました（以前に彼が言及したディラックインパルスのスペクトルと同様）。しかし、あなたはこれがスペクトル線、すなわち単一の周波数を指すと考えました。少なくとも今、私はあなたの答えがOPの質問にどのように答えることができるかを理解しています。

— マットL.

1

@MattL。、実際に彼が「線」を書くとき、彼はディラック分布の通常のグラフィカル表現を意味すると思った。いずれにしても、質問は少なくとも2つの異なる方法で実際に読むことができるため、彼は明確にする必要があります。

— ジャズ

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「標準」の定義は、運動量と位置の不確実性（特に標準偏差）に関連する物理的な記述であり、そこに

があります。そしてそうであっても、このような場合には、あなたが「が何を意味するのかを定義する必要があり

」と「

」。その定数（

として指定します

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

）すぎ対数スケールで統一（）からではないが、それはしている必要もありません

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

による「の特定の定義を除いて

」及び「

」。

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— ロバートブリストージョンソン

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電気技術者は、数学者が機能ではない（または、少なくとも「通常の」機能ではなく、「分布」である）と主張するディラックデルタ関数を少し速くてゆるやかにします。数学的な事実であるその場合 $f(t)=g(t)$ "ほとんどどこでも"（そのすべての値における手段 $t$ の離散値の可算数を除いて）、次いで

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ 。

関数 $f(t)=0$ と $g(t)=\delta(t)$ は $t=0$ を除いてどこでも等しいが、電気技術者はそれらの積分が異なると主張する。しかし、あなたがこの小さな（そして、私の意見では、非実用的）違いを脇に置いた場合、あなたの質問に対する答えは：

ディラック櫛関数
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ 期間の周期関数であり、 $T$ 、したがってフーリエ級数有する： ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
フーリエ級数の係数 $c_n$ を爆発させると、次のようになります。

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

したがって、ディラック櫛のフーリエ級数は

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

つまり、振幅が等しい正弦波の束を単に合計しているだけです。

単一の複素正弦波のフーリエ変換は次のとおりです。

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

そして、フーリエ変換に関してこの直線性の特性があります。残りの証拠は読者に任せた演習です。

— ロバート・ブリストー・ジョンソン
ソース

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@Jazzmaniac、それは虚偽です。私はいつ数学者を見下したことがありますか？（私はあなたが少し予測していると思います。）ところで、私は大学院レベルで2学期の機能分析をしてから38年になります。すべてを覚えているわけではありませんが、メトリック空間とは何か、標準メトリック空間（「バナハ空間」と呼ばれることもあります）、および内積空間（「ヒルベルト空間」と呼ばれることもあります）、および機能は（これらのいずれかから数値へのマップ）です。そして、私は線形空間が何であるかを知っています。

について、私は彼らが裸であることを気にしません。

δ (t)

$\delta(t)$

— ロバートブリストージョンソン

あなたは、数学者がディラック分布を介して統合しても1にならないことを示唆する間違った議論を続けます。機能分析のクラスを受講したとしても、Dirac分布を理解していないことをこれ以上実証することはできません。あなたのような電気技術者が数学を「修正」する必要はありません。そして、あなたがそのような数学者について話すのをやめるまで、私はあなたにそれを指摘し続けます。それは完全にあなたの選択です。

— ジャズマニアック

それも虚偽です、@ Jazzmaniac。私は、と言っています一貫した（それが機能しているかのように、私たちの電気エンジニアはそれにその区別と取引について心配しなくても）を教えて数学者の状況では、ディラックのデルタ関数が本当に関数ではありません、それがあれば理由だった Aほぼどこでもゼロであった関数、積分はゼロになります。なぜあなたは私を偽って伝え続けるのですか？あなたが研削しているxは何ですか？

— ロバートブリストージョンソン

@ robertbristow-johnson「電気技術者は、Diracのデルタ関数を使って少し速くてゆるいことをします。」ポール・ディラックは電気技師でした。クロード・シャノンは電気技師でもありました。このような一般的で不正確な発言をしないことをお勧めします。あなたは電気技術者であると主張し、分布理論を明確に理解しています。

— マークヴィオラ

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$

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私は直観を与えようとします。おそらく考えられる方法は次のとおりです。「1つのディラックデルタは、周波数領域で1を与えます。ここで、無限数のディラックデルタを与えます。より高いDCを取得すべきではありませんか？」ここで、周波数領域（FD）のディラック櫛で言及されたすべての周波数成分を追加することにより、時間領域（TD）で別のディラック櫛が得られるかどうかを確認します。連続波形を追加し、離散ポイントでデルタを取得しています。奇妙に聞こえます。

FDに戻る。間隔ディラックコームがあります。つまり、などにあります。したがって、DCと無限数の余弦、つまりなどがあります。 $\omega_0$ $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$

対応する時間領域の点を考えてみましょう。上記のコサイン波はすべて値1を与えます。したがって、それらはすべて加算され、それらのポイントでゼロ以外の値を与えます。今、他のtはどうですか？それらがすべてゼロになると確信する必要があります。 $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$

少しずれて、波形考えてみましょう。kが掛けた分数として表現できない限り、それは非周期的であることを知っています。どういう意味ですか？単一の繰り返しサンプルはありません。各サンプルは一意です。別の観点から見ると、ユニークでコサイン波の一部であるサンプルが無限にあります。これは、すべての無限点を取得することを意味します。1つの連続余弦波を完全に1回作成できます。が周期的な場合はどうなりますか？サンプルの合計がkの値に基づいて定期的にゼロになることは既にわかっています。したがって、のすべてのサンプルの合計は、を除き、kの任意の値に対してゼロを $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ $\pi$ $cos(kn)$ $cos(kn)$ $k = 2\pi$ の倍数。

元の問題に戻る：ここで、任意のます。今、我々はの値として....。しかし、を除くすべてのtについて、この無限和= 0がすでに証明されています。 $t=t_0 \neq 2r\pi$ $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ $t=t_0$ $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$

— スブラマニアンTR
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