オーバーサンプリングの前にホワイトノイズを追加してデジタル化を改善する

私は物理学の本を読んでいて、信号をデジタル化するときに、プロセスを改善するためにホワイトノイズが追加されたと言っていました。これがどのように機能するのかわかりません。したがって、私の質問は次のとおりです。

アナログ信号をデジタル化する場合、オーバーサンプリングと組み合わせるとノイズを追加することがどのように有益になりますか？

デジタル化の前に無相関（つまり、ホワイト）ノイズをアナログ信号に追加することをディザリングと呼びます。なぜこれを行うのかを理解するには、量子化ノイズの概念を理解する必要があります。振幅が0〜100の範囲の信号を持つアナログシステムを考えてみます。この信号を、デジタルレベルが1間隔のデジタイザでデジタル化するとします。つまり、可能なデジタル化レベルは

$$\left\{ -100, -99, -98 \ldots 99, 100 \right\} \, .$$

今、アナログ信号を仮定します $s(t)$ 値0.8のDC信号です。つまり、

$$s(t) = 0.8 \, .$$

これをデジタイザに入れると、デジタイザは1に丸めて、デジタルサンプルを $s_n$ になります

$$s_n = 1\,.$$

これで、デジタル信号がさらに信号を取得するとエラーが蓄積されるため、これは良くありません。デジタル化されたレベルは常に高すぎるため、信号を平均化する時間が長いほど、アナログレベルを過大評価します。

ホワイトノイズを追加すると、アナログレベルが隣接するデジタル化レベルと交差するようにプッシュされるため、この問題の修正に役立ちます。したがって、デジタル化された値のセットを平均すると、実際には真のアナログレベルに近い値が得られます。例を見てみましょう。

追加するノイズがガウス分布であると仮定します $\sigma=2$。次に、アナログ信号の分布は

$$p(x) \propto \exp \left[ \frac{-(x - s(t))^2}{2\sigma^2} \right] = \exp \left[ \frac{-(x-0.8)^2}{8} \right] \, .$$

次に、平均デジタル値を計算します$\langle s_n \rangle$ 平均して $p(x)$整数の上。分布の正規化定数は

$$N = \sum_{m=-100}^{100} \exp \left[ \frac{-(m-0.8)^2}{8} \right]$$ だから私たちは $$\langle s_n \rangle = \frac{1}{N} \sum_{m=-100}^{100} m \exp\left[ \frac{-(m-0.8)^2}{8}\right] = 0.79999\ldots$$ したがって、ホワイトノイズを追加すると、平均デジタル化信号が真のアナログ値により厳密に一致することがわかります。

もちろん、ノイズを追加すると、信号対ノイズ比が悪化します。それは実際に測定する高い確率を持っていることを意味します$\langle s_n\rangle$計算したばかりなので、ノイズのない場合よりも多くのサンプルを取得する必要があります。これが、オーバーサンプリングとディザリングについて同時に耳にする理由です。ディザリングノイズは完全に無相関であるため、サンプル数を増やすと、アナログ信号の帯域幅を超えてサンプリングする場合でも、常に信号対ノイズ比が向上します。

ディザリングオーバーサンプリングしないと組み合わされた入力信号（意図的に雑音加算）缶（保証を！）信号のビットの有効数を向上させ、信号対雑音比を増加させます。

基礎となるプロセスがホワイトノイズプロセスであると仮定すると、量子化レベルがノイズにうまく含まれている場合、デジタル化された信号はホワイトノイズのように見えます。これは一般的に良いことです。ホワイトノイズには、かなり良い数学的特性があります。非線形の信号依存の量子化ノイズを処理することは困難です。量子化レベルがノイズに十分含まれている場合、その量子化ノイズは一般に無視できます。

量子化レベルがノイズにうまく含まれていない場合はどうなりますか？これで、扱いにくい乱れた量子化ノイズができました。これに対処する1つの方法は、より高い分解能のADCを使用して、量子化をノイズにうまく入れることです。別の方法は、入力信号に意図的にホワイトノイズを追加して、（ディザリングされた）信号ノイズと比較して安価なADCからの量子化ノイズを小さくすることです。

基本的な考え方は、入力信号をディザリングして、ディザリングされた信号のノイズが量子化ノイズよりも支配的になるようにすることです（ただし、明らかに過度ではありません）。ディザリングされた信号は、意図的にオーバーサンプリングされ、2つ以上の連続する測定値を平均することによってダウンサンプリングされます。この平均化は、入力信号が量子化ノイズと比較してノイズが多い場合にのみ購入します。平均化された量子化ノイズは、量子化ノイズのように見えます。ホワイトノイズを平均化すると、ノイズから信号が立ち上がります。

詳細については、Walt Kesterのチュートリアル「ADC入力ノイズの良い点、悪い点、そして醜い側面」を参照してください。ノイズがないのは良いノイズですか？。

はい、無相関ノイズを信号に追加してから、複数のサンプルを平均化することは、量子化ノイズを処理する1つの方法です。

これを明確にするために、限定的なケースを考えてください。0と1の間の信号の値を測定したいが、必要なのは1ビットA / Dだけです。A / D出力は、信号が0〜.5の場合は0、信号が.5〜1の場合は1です。

次に、0.3の信号を考えます。きれいな.3が入っていると、A / Dは常に0になります。たとえば、.1、.25、.3などの入力信号を区別することはできません。

次に、±.5のランダムノイズを追加します。A / Dから見た信号は、-。2から.8の範囲になります。0の出力の確率は.7、1の出力は.3です。いずれの読み取り値でも（信号が0から.5であると通知された以前とは異なり）多くはわかりませんが、一連の読み取り値の後、信号についての合理的なアイデアを得ることができます。たとえば、100個の読み取り値を取得すると、約30個が1になり、70個が0になります。これは保証されませんが、平均値が多いほど、平均結果が信号を表す信頼性が高くなります。

したがって、ディザリングは、確実性と帯域幅をトレードオフして解像度を得るための手段です。何回の読み取りを行っても、信号が一定の範囲内にあることはわかりません。信号が一定の範囲内にある確率が高いだけです。また、1つの信号値を取得するには多くのサンプルが必要なため、帯域幅が失われていることにも注意してください。それにもかかわらず、多くの場合、これらは有用なトレードオフです。

上記の答え、ディザリングは正しいですが、時間と解像度を明確に交換していることを明示的に指摘したいと思います。時間と精度のトレードオフ。最も劇的なケースは、デルタシグマコンバーターです。精度は1ビットですが（おそらく例外はあります）、変換をオーバークロックすることで、24ビット程度の解像度を抽出できます。この場合、彼らはオーバークロックによってトレードオフを回避します（たくさん）。

もちろん、他の多くの技法が実際のコンバーターで使用されています。しかし原則が適用されます。

昔（80年代後半）、核医学で使用されるガンマカメラの一部として、入射放射線のエネルギースペクトルを作成する機能が必要でした。これには、優れた微分直線性を備えた高速ADCが必要でした（基本的に、ADCのすべての「ビン」は正確に同じ幅である必要があります。少し幅が広い-そしてこれはスペクトルピークのように見えるかもしれません）。

ソリューションはディザリングの興味深いバリエーションでした。小さなDACとカウンターがあり、これを使用して既知の量の信号を入力に追加しました。次に、（比較的）貧弱な微分直線性を備えた高速ADCを使用して和信号をデジタル化し、変換後にDACの値を再度差し引きました。この後、カウンター（DACへの入力）が1増加しました（オーバーフローによりゼロにリセットされます）。この結果、同じ値の電圧が多くのビンの1つで変換され、事実上、DACカウンターのサイズによってADCの微分非直線性が減少します。

ランダムノイズでも同じことができますが、追加するノイズがわからない場合は、当然信号が劣化しています。ノイズがADCの単一のビンのサイズとほぼ同じで、複数の測定を行うことができる場合、これは、微分直線性を信頼できると仮定して、ADCの分解能よりも優れた信号を推定するのに役立ちます。ただし、既知の「ランダム」信号を追加し（カウンターを使用しましたが、特定の変換で発生する値は「ランダムな時間」でした）、その値を考慮すると、さらに高い精度が得られます。