データ自体ではなく、自己相関の固有ベクトルを処理するのはなぜですか？

自己相関行列の固有ベクトルが使用されているのに、時間サンプルから構築された行列の固有ベクトルには意味がなく、使用されていない理由を理解するには、どのように直感的に理解できますか？たとえば、加法性ノイズにおける調和のとれた信号の検出。

観測値のある行列ではなく、自己相関行列を使用する方が良い理由のいくつかの「腸レベル」の理由：

• すべての観測値を考慮に入れて、大量のデータがある場合、かなり大きな行列を操作（反転、乗算）することになります。あなたは自己相関行列で作業する場合、あなたは（ちょうどFFT、逆FFTを必要とする、かなり効率的なステップで）一度あなたのデータを「要約」し、その後から、あなただけのサイズのあなたの自己相関行列操作Pはあなたですモデルの次数（たとえば、ARモデリングまたは正弦波モデリング）。$P \times P$$P$
• 一部のデータでは、正定値であることが保証されていない行列を処理する必要がある状況に遭遇するため、生の観測値を使用しても数値的に機能しません。

たとえば、ARモデルフィッティングへの2つのアプローチを考えてみましょう。

データマトリックスの直接使用

データの経験的2次再構成エラーは次のとおりです。

$$\epsilon = \mathbf{x}^T\mathbf{x} + \mathbf{x}^T\Gamma \mathbf{a} + \mathbf{a}^T\Gamma^T\mathbf{x} + \mathbf{a}^T\Gamma^T \Gamma \mathbf{a}$$

$\mathbf{a}$$\mathbf{x}$$\Gamma$$\mathbf{a}$

$$\mathbf{a} = - (\Gamma^T \Gamma)^{-1} \Gamma^T \mathbf{x}$$

$\Gamma^T \Gamma$

ランダムプロセスビュー

「ランダムプロセス」の角度を問題に適応させる場合、最小化する必要がある量（エラーの期待値）は次のとおりです。

$$\epsilon = r_x(0) + 2 \mathbf{r} \mathbf{a} + \mathbf{a}^T \mathbf{R} \mathbf{a}$$

そして、あなたはより口当たりの良い解決策に終わります：

$$\mathbf{a} = - \mathbf{R}^{-1} \mathbf{r}$$

$\mathbf{R}$

あなたの問題は、（ARモデリングではなく）正弦波モデリングの問題のようです。ここには多くの手を振っていますが、ARモデリングと生データマトリックスを使用する際のハードルについて私が言ったことは、正弦波モデリングにも適用されます-行列反転の代わりに固有値分解が問題のある演算です。

まず、固有ベクトルと固有値が演算子に対して定義されます。相関は操作です。

第二に、自己相関の固有ベクトルは、信号の分散を線形回帰で最も効率的に説明できるため、特に興味深いものです。言い換えると、固定数のベクトルの場合、固有ベクトルを選択すると、信号がベクトルの線形和としてモデル化される平均二乗誤差が最小になります。この手法は、主成分分析と呼ばれます。

「調和のとれた」シグナルについてのあなたの考えを広げることができれば、おそらく私はさらにコメントすることができます。