フーリエ変換とラプラス変換で負の指数が存在するのはなぜですか？

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フーリエ変換とラプラス変換で負の指数が必要な理由を誰かに説明してもらえますか？私はWebを調べましたが、何も取得できませんでした。これらの変換に正の指数が配置されていると、何も起こりません。

http://1drv.ms/1tbV45Sを見ると、場合は急速に減少する関数になるが、場合はtの急速に増加する関数になることが理解できなかったと誰もが理解できます。 $s>0$ $s<0$

fourier-transform laplace-transform

— ジャスティン
ソース

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マットは正しいです。それ以外にも理由はあると思います。

複素平面の複素周波数を見ると、それらはある方向または別の方向に回転する定数ベクトルのように見えます。正の周波数は反時計回りに回転し、負の周波数は時計回りに回転し、「0 Hz」の周波数はまったく回転しません。

正の周波数

フーリエ変換には、「探している」周波数とは反対方向に意図的に回転する負の符号があります。

負の頻度

逆回転の理由は、2つの周波数ベクトルが乗算されると、それらの位相が繰り返しキャンセルされるため、結果を合計すると、個々のベクトルがすべて揃っているため、大規模なベクトルが発生するためです。

X (f) = \sum_{n = 0}^{N - 1} x (n) e^{- j 2 π k n / N}

$X(f) = \sum\limits_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$

フーリエ周波数ベクトル

これは、フーリエ変換が周波数を「見る」方法です。2つの周波数が同じまたは「近い」場合（それらがどの程度接近する必要があるかは、DFTの長さに依存します）、それらはうまく整列し、合計で大規模な応答を引き起こします。これが離散フーリエ変換（DFT）でどのように機能するかを示しましたが、まったく同じ理由が連続変換にも当てはまります。

うまくいけば、これがフーリエ変換が反対方向に回転するベクトルを必要とする理由を説明しています。完全に正直に言うと、ラプラスの変形がその否定的な兆候を明確に推論できるほどよくわかりません。ただし、2つの変換は非常に密接に関連しているため（ラプラス変換はフーリエ変換の一般化である）、同様の理由であると思います。

— ジムクレイ
ソース

別の見方は、逆変換を見て、信号を（指数に正の符号を付けて）複素指数の和（または積分）に構成することが最も自然に見えると主張することです。しかし、とにかく、符号の規則が変更されても、大きな変更は発生しません。

— Matt L.

@MattL。両方の点で合意。

— Jim Clay

@JimClay：イラストは良いです。ベクトルのドット積には含まれているので、回転が反対の場合、ベクトルが加算されます。または、クロス積について言っているのかどうかわかりません。あなたは「反対回転」を意味しました。

\cos θ

$\cos\theta$

— 2014年

@justin話しているがどこから来たのかわかりません。多分あなたはますか？とにかく、2番目の図は、フーリエ変換の外積のを示しています。複素平面で時計回りに回転しています。つまり、各サンプルは前のサンプルと同じ位相から一定の位相を差し引いたものです。低周波数には小さな位相差があり、高周波数には大きな位相差があります。

c o s θ

$cos\theta$

e^{j θ} = c o s (θ) + j * s i n (θ)

$e^{j\theta}=cos(\theta) + j*sin(\theta)$

e^{- j 2 π k n / N}

$e^{-j2\pi kn/N}$

— Jim Clay

@JimClay：しかし、フーリエ変換では、実際に各信号を「加算」または「乗算」していますか？

— 2014年

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フーリエ変換の場合、指数の符号は純粋な慣習です。逆変換では、指数に正の符号があることに注意してください。指数に正の符号を付けてラプラス変換を定義することもできます。いずれの場合も、時間領域関数の指数減衰を変換したいので、複素指数の実数部は負でなければなりません。を変更した場合、一方的なラプラス変換の収束領域は、いくつかの実数値の定数に対してからに変更されます。 $s$ $-s$ $\Re\{s\}>a$ $\Re\{s\}<a$ $a$

— マットL.
ソース

投稿を更新しました。ご覧ください。

— 2014年

@justin：被積分関数はです。あなたが得る。以下のためののあなたGET指数関数的に減衰（のための）。そうでなければ、あなたは、積分を発散させるかもしれない指数関数的に増加する因子を得るでしょう。

f (t) e^{- s t}

$f(t)e^{-st}$

s = σ + j ω

$s=\sigma+j\omega$

f (t) e^{- σ t} e^{- j ω t}

$f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}$

σ > 0

$\sigma>0$

f (t)

$f(t)$

t > 0

$t>0$

— Matt L.

信号分析のために、、、が複素数s変数で何をかを教えてください。

j

$j$

ω

$\omega$

σ

$\sigma$

— 2014年

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@justin：私は虚数単位としてを使用しました（EEではいつものように、他の人々はそれをと呼んで）。また、、は実数部であり、は虚数部です。

j

$j$

i

$i$

s = σ + i ω

$s=\sigma+i\omega$

σ

$\sigma$

s

$s$

ω

$\omega$

s

$s$

— Matt L.

理論的アプローチの代わりに信号特性を使用してそれを説明できますか。

— 2014年

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元の規則は、正の指数を持つ複雑な正弦波を表すことです。したがって、電圧の「フェーザー」は

v (t) = V e^{j ω t}

$v(t) = V e^{j \omega t}$

（は複素定数であり、はフェーザーの大きさを表し、はフェーザーの位相を表します。）この規則を次のように定義できます。 $V$ $|V|$ $\arg\{V\}$

v (t) = V e^{- j ω t}

$v(t) = V e^{-j \omega t}$

しかし、私の質問は「なぜ面倒なのか」です。

なぜ複雑な指数関数なのですか？これは、が線形時不変（LTI）システムの固有関数（基本的には固有関数）であり、フーリエ変換とラプラス変換を適用するためです。とき LTIシステムに入り、何か時間の出てきます。 $e^{s t}$ $e^{s t}$ $e^{s t}$

LTIシステムは、インパルス応答によって完全に記述されるか、その入力/出力関係を完全に記述できます。その説明は畳み込みです： $h(t)$

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ

$y(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau$

入力が

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{s t}$

出力は

\begin{aligned} y (t) & = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) e^{s (t - τ)} d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) e^{- s τ} d τ e^{s t} \\ = H (s) e^{s t} \\ = H (s) x (t) \end{aligned}

$\begin{align} y(t) & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau \\ & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{s (t-\tau)} \ d \tau \\ & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-s \tau} \ d \tau \ \ e^{s t} \\ & = H(s) \ e^{s t} \\ & = H(s) \ x(t) \\ \end{align}$

したがって、は固有関数と固有値です。LTIシステムで固有関数をスケーリングするものはあり、直接関連しています。 $x(t)=e^{s t}$ $H(s)$ $h(t)$

それから、残りはすべてフーリエについてです。したがって、フーリエは少し一般化します。まず、周期的なて、フーリエはすべてと同じ周期を持つ正弦波で表すことができます。 $x(t)$ $x(t)$

x (t + T) = x (t) \forall t

$x(t+T) = x(t) \quad \forall t$

x (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] e^{j \frac{2 π k}{T} t}

$x(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t}$

それはまだ元の規則です：信号をフェーザーとして定義します。正の指数が残ります。は"フーリエ係数"です。 $e^{j \omega t}$ $X[k]$

したがって、出力は

\begin{aligned} y (t) & = \sum_{k = - \infty}^{\infty} H (j \frac{2 π k}{T}) X [k] e^{j \frac{2 π k}{T} t} \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} Y [k] e^{j \frac{2 π k}{T} t} \end{aligned}

$\begin{align} y(t) & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} H\left(j \frac{2 \pi k}{T} \right) X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} Y[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} \\ \end{align}$

同じ周期を持ち、フーリエ係数が異なる別の周期関数。

したがって、指数の正の。 $\omega$

だから何されているそれらのフーリエ係数は？

\begin{aligned} \int_{0}^{T} x (t) e^{- j \frac{2 π m}{T} t} d t & = \int_{0}^{T} x (t) e^{- j \frac{2 π m}{T} t} d t \\ = \int_{0}^{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] e^{j \frac{2 π k}{T} t} e^{- j \frac{2 π m}{T} t} d t \\ = \int_{0}^{T} \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] e^{j \frac{2 π (k - m)}{T} t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} X [k] \int_{0}^{T} e^{j \frac{2 π (k - m)}{T} t} d t \end{aligned}

$\begin{align} \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt & = \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt \\ & = \int\limits_{0}^{T} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt \\ & = \int\limits_{0}^{T} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \int\limits_{0}^{T} e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt \\ \end{align}$

合計のすべてのについて、場合、積分はゼロであるため、合計の項はゼロです。 $k$ $k \ne m$

\int_{0}^{T} e^{j \frac{2 π (k - m)}{T} t} d t = {\begin{cases} 0, & for k \neq m \\ T, & for k = m \end{cases}

$\int\limits_{0}^{T} e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt = \begin{cases} 0, & \text{for } k \ne m \\ T, & \text{for } k = m \end{cases}$

単一の非ゼロ項の場合、場合、 $k=m$

\int_{0}^{T} x (t) e^{- j \frac{2 π m}{T} t} d t = X [m] T

$\int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt = X[m] T$

そう

X [m] = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} x (t) e^{- j \frac{2 π m}{T} t} d t

$X[m] = \frac{1}{T} \ \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt$

それが負の指数の出所です。合計の項のみが存続するように、この指数を負にする必要があります（および）、したがって、単一のを分離して、それが何であるかを知ることができます。そうでない場合、それは項が存続することになるため、元の定義の規則を変更する必要があります。 $m^{\text{th}}$ $k=m$ $e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t}=1$ $X[m]$ $-m^{\text{th}}$ $x(t)$

これは、フーリエ級数表現が非周期的に一般化され、総和が積分になるため、基本的にそうです。信号をこれらの指数関数（正の指数を持つ）固有関数の積分の一種として定義するためです。 $x(t)$

x (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) e^{j ω t} d ω

$x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(j \omega) e^{j \omega t} \ d \omega$

ここでも、これらのフーリエ「係数」を取得するには、負の指数が必要です。

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j \omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt$

ラプラスは、純粋に虚数の値をより一般的な複素数値することで、さらに一般化します。しかし、それは符号の慣例を変更しません。 $j \omega$ $s = \sigma + j \omega$

— ロバート・ブリストー・ジョンソン
ソース

なぜが固有関数であると言えるでしょうか。

e^{s t}

$e^{st}$

— 2014年

確かに、私はすでに持っていました。まず、LTIシステムの一般的な入出力方程式は、畳み込み方程式です：は入力をとして定義し、それをたたみ込み方程式に代入して、ます。たたみ込み積分の導出方法を説明する人が必要ですか？

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ

$y(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau$

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{s t}$

y (t)

$y(t)$

— robert bristow-johnson 2014

：私が知りたいのですが、それが唯一の入力です我々はの面で出力を得るでしょうバックやその他の機能があります具体的には、私は「重点が上与えられている理由を知りたいですか？ DFT、ラプラスtranformような変換のほとんどに（Xは複素数または実数であることができる）、Z等変換

e^{s t}

$e^{st}$

e^{s t}

$e^{st}$

e^{x t}

$e^{xt}$

— ジャスティン

指数形式は、線形時不変（LTI）システムの固有関数の唯一の関数形式であると思います。それは覚えので、一般的な方法でのみ定義を指数のベースをに、任意の指数関数作用します。他の一般的な形式の関数が、その形式を変更せずに畳み込み積分を通過するとは思いません。多分べき級数は次のようになります：それはそれについてです。

x (t) = e^{s t}

$x(t)=e^{st}$

s

$s$

e^{s t} = {(e^{s})}^{t} = a^{t}

$e^{st} = \left(e^s\right)^t = a^t$

t

$t$

x (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} t^{n}

$x(t) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n t^n$

— robert bristow-johnson 2014

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共役のない複雑なベクトルまたは関数の内積公理は一貫性がないため、順方向変換の負の指数は必要かつ避けられません。

たとえば、複素数ベクトルとそれ自体の内積は、共役なしでは実数ではなく、負ではありません。

— パトリック
ソース