1D信号のたたみ込み問題の解決

この問題を解決しようとして困っています。この信号の畳み込みを計算する必要があります。

$$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$$

ここで、$u(t)$はHeavyside関数です

よく私はこれらの2つの信号の畳み込みが等しいと言う公式を適用しました

$$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$$

ここで、$X(f)$は最初の信号のフーリエ変換で、$W(f)$は2番目の信号のフーリエ変換です。

$e^{-kt}u(t)$フーリエ変換は

$$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$$

2番目の信号を$\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

だから私はこの操作をします：

$$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$$ これは等しい $${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$$

正しいかどうか？

これは非常に遅い回答だとわかりましたが、それでも有益だと思うので、またこの質問はコミュニティにとって一般的な関心があることを示唆しているので、この質問に回答しようと思います。

質問ですでに示唆されているように、2つの信号とw （t ）をx （t ）= e − k t u （t ）として 定義しましょう$x(t)$$w(t)$

$$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$$

たたみ込み考えられる解釈の1つは、指数関数的に減衰された信号x （t ）が、インパルス応答w （t ）を持つ理想的なローパスフィルターによってフィルター処理されることです。質問では、時間領域でのたたみ込みが周波数領域での乗算に対応することも正しく指摘されました。x （t ）のフーリエ積分は簡単に計算できます：$(x*w)(t)$$x(t)$$w(t)$$x(t)$

$$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$$

のフーリエ変換は、理想的なローパスフィルターであるため、おなじみのはずです。質問では、Sinc関数の定義に関していくつかの混乱がありました。私は単にカットオフ周波数でユニティゲインローパスフィルタのインパルス応答を覚えておくことが示唆ω 0 = 2 π F 0 Sinc関数の定義のいずれかを使用することなく： H L P（T ）= 罪ω 0$w(t)$$\omega_0=2\pi f_0$

$$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$$

$w(t)$$w(t)$$\omega_0=\pi/10$

$$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$$ $u(\omega)$

$y(t)=(x*w)(t)$$Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

$$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$$

$\text{Ei}(x)$$\text{Si}(x)$$\text{Ci}(x)$

$y(t)$$k=0.05$$\omega_0=\pi/10$

$x(t)$$y(t)$$y(t)$$t<0$$\omega_0=\pi$$\pi/10$