不安定性は、そうでなければLTIシステムを非線形（または時変）にしますか？

私はこの質問をジョニーからの質問から引き離しています。マットL.と私は、ジョニーの質問に対して正反対の結論を出しました。

私はこの問題を因果関係の問題や他の間抜けなものから切り離したいと思います。

したがって、時間領域のI / O方程式で記述された単純な1次の再帰システムがあります。

$$y[n] = p \cdot y[n-1] \ + \ x[n] \quad \quad \forall n \in \mathbb{Z}$$

もちろん、これのZ変換は

$$Y(z) = p \cdot z^{-1} Y(z) \ + \ X(z)$$

と伝達関数

$$H(z) \triangleq \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{z}{z-p}$$

私たちは、通常でゼロとシンプルかつ実現可能LTIシステムとしてこれを識別するとの極。しかし、他の質問では、場合の線形性と時間不変性に関する問題があります。$0$$p$$p=-1 \ $

このシステムはどの値に対して線形ですか？このシステムの時間不変である値は？$p$$p$

これは、マットL博士との意見の相違の核心だと私は思います。

ディスカッションがどのようにしてこの時点に至ったのかはわかりませんが、これだけ多くの時間をたどるのはかなり複雑です。これは定数係数を持つ通常の差分方程式であり、線形の時不変システムを定義します。独自の解決策があれば、それ以上追求する必要はありません。ここで、強調された部分に問題があります。

まず記述子状態空間方程式を書きましょう。システムは次のように記述されます。

$$\begin{align} \begin{bmatrix}1&-1\\0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1[k+1]\\s_2[k+1]\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}p&0\\0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1[k]\\s_2[k]\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}x[k]\\ y[k] &= \begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1[k]\\s_2[k]\end{bmatrix} +[1]x[k] \end{align}$$

これが問題の部分だと思います。このシステムはLTIですが、規則的ではありません（関連する話題は規則的で、衝動のないものです）、インデックス1記述子システムです）。つまり、存在しない$\lambda$ その表現 $\det(\lambda E-A)$ はゼロではないため、モードの1つは $\frac{\bullet}{0}$ そして実際これは $\frac{0}{0}$この例では。これは、因果関係のあるLTIシステムとは異なり、システムにソリューションの一意性の問題があることを意味し、一意のソリューションの存在を保証するものではありません。その問題（流行語インパルスシステム）の許容可能なソリューションの保証はありません。したがって、他の回答のLTI推論はそれをカットしません。

そして、マット・Lの議論から私が知る限り問題を引き起こすのは、同じシステムに対して2つの自明ではない解決策を見つけ、これが線形システムではあり得ないと結論付けたことです。ただし、これは、ソリューションの一意性と存在、および初期条件も前提としています。

標準のLTIシステムの一意性と存在の保証を想定できないという点で、通常のシステムとは異なります。モデルは、考えられるすべての信号に対して許容可能な軌道を持っているとはもはや見なせません。

答えはノーだ。離散時間システムにLTIのラベルを付けるには、その線形性と時間不変性のプロパティのみを探し、システムが安定しているかどうかを気にする必要はありません。これは、他のプロパティと相互に共存できるシステムの別の独立したプロパティです。実際、多くのLTIシステムは不安定であり、依然としてLTIシステムです。豊富な例については、Alan Oppenheimの本：Signals＆Systems、2ed、Chapter 2（またはその他の大学の教科書であるsignals and and systems、またはデジタル信号処理）を参照してください。時間不変。（確かにあなたの例はそのようなものです）

ご存知のように、再帰的な離散時間システムを定義することになっているLCDDEに来ると、LCDDE自体は、ソリューションを一意に指定するのに十分ではありません。補助条件（初期条件）のセットも必要になるためです。これらの初期条件を明示的に設定しないと、方程式を解くことも、方程式が表すシステムがLTIか因果関係かを判別することもできません。一部の初期条件では、それは因果的でなく、線形であり、時間的に変動する可能性があるのに対し、他のいくつかのセット（すなわち、初期の残りの条件）では、線形で、時間的に不変で、因果的です。したがって、単一のLCCDEがLTIシステムを一意に表すためには、その初期条件を任意にではなく初期休止に適切に設定する必要があります...

線形性と時間不変性はの値に依存しません $p$。差分方程式で記述される2つの可能な線形および時不変（LTI）システム

$$y[n]=p\cdot y[n-1]+x[n]\tag{1},\quad p\neq 0$$

逆によって与えられます $\mathcal{Z}$-質問で定式化された伝達関数の変換：

$$H(z)=\frac{z}{z-p}\tag{2}$$

（2）は、次の収束領域（ROC）がない限り、インパルス応答を一意に定義しないことに注意してください。 $H(z)$与えられます。伝達関数（2）には、2つのROCが考えられます。$|z|>|p|$ そして $|z|<|p|$。最初のケースでは、対応するインパルス応答は右側であり、因果的なLTIシステムに対応します。

$$h_1[n]=p^nu[n]\tag{3}$$

どこ $u[n]$単位ステップ関数です。選ぶなら$|z|<|p|$ ROCとして、反因果システムに対応する左側のインパルス応答を取得します。

$$h_2[n]=-p^nu[-n-1]\tag{4}$$

もし $|p|<1$ 次に、以下を特徴とする因果LTIシステム $h_1[n]$ 安定しており、以下を特徴とする抗因果LTIシステム $h_2[n]$ 不安定であり、 $|p|\ge 1$ 反対が成り立つ。

これまでのところ、差分方程式（1）は2つのLTIシステムを定義しています。1つは因果関係、もう1つは反因果関係です。2つの対応するインパルス応答$h_1[n]$ そして $h_2[n]$ は、差分方程式（1）の解です。 $x[n]=\delta[n]$。ただし、これらは（1）の唯一の解決策ではありません。線形差分方程式の理論から、一般解が特定の解によって与えられることがよく知られています。$x[n]$、および次式で定義される同次方程式の解 $x[n]=0$。与えられた差分方程式に対して、対応する同次方程式は

$$y[n]=p\cdot y[n-1]\tag{5}$$

（5）の解は

$$y_h[n]=c\cdot p^n,\quad c\in \mathbf{R}\tag{6}$$

これで、（1）の一般解を表現できます（ $x[n]=\delta[n]$）特定のソリューション（または $h_1[n]$ または $h_2[n]$）と $y_h[n]$：

$$y[n]=h_1[n]+y_h[n]=h_1[n]+c\cdot p^n\tag{7}$$

ソリューションに注意してください $h_2[n]$ （7）から、 $c=-1$。また、（7）はすべてのユーザーに有効です。$n\in\mathbf{Z}$。

入力信号をスケーリングして使用する場合 $x_1[n]=a\delta[n]$ 一部で $a\in\mathbf{R}$、結果の出力は

$$y_1[n]=a\cdot h_1[n]+c\cdot p^n\tag{8}$$

この出力信号は通常、 $a\cdot y[n]$ （と $y[n]$ （7）で与えられるが、 $c=0$ または $c=-1$。したがって、対応するシステムは線形ではありません。入力信号について$x_2=\delta[n-n_0]$ 出力は

$$y_2[n]=h_1[n-n_0]+c\cdot p^n\tag{9}$$

一般的には等しくない $y[n-n_0]$ （ここでも、 $c=0$ または $c=-1$）。したがって、対応するシステムも時不変ではありません。

要約すると、差分方程式（1）は、入力信号に応答する無限に多くのシステムを記述します。 $x[n]=\delta[n]$（7）で与えられる。これらのシステムのうち2つだけがLTIであり、他はそうではありません。2つのLTIシステムはインパルス応答によって記述されます$h_1[n]$ そして $h_2[n]$ （3）と（4）でそれぞれ与えられます。

私はこの議論に興味をそそられ、ミックスに別の視点を追加したいと思いました。

検討中のシステム（ $y[n]=p⋅y[n−1] + x[n]$）は、1つの（無限次元の）ベクトル空間から別の空間へのマッピングと考えることができます。これをこのマッピングとしましょう$M$、そして（最初に）次のように定義できます。

$$M : \mathbb{R}^\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}^\mathbb{Z}$$

この用語は、 $M$ からのマッピングです $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ （整数変数のすべての実数値関数のスペース）から $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$。

システムにゼロがある場合（およびここで検討中のシステムにゼロがある場合） $z=1$）、これはマッピングが $M$2つの異なる入力信号は同じ出力信号につながるため、1対1ではありません。たとえば、任意の入力信号の場合、$x[n]$、私たちはそれを言うことができます $M(x)=M(x+\lambda)$ 本物の $\lambda$。

システムの「ゼロ」である関数のセットは、次のように定義できます。

$$K_{zeros}=\{f[n]=\lambda:\forall \lambda \in \mathbb{R}\}$$

同様に、システムに極がある場合（およびここで検討中のシステムにゼロ点がある場合） $z=-1$）、つまり、これは逆マッピングであることを意味し、 $M^{-1}$1対1ではありません。具体的には$M^{-1}(x)=M^{-1}(x+\lambda(-1)^n)$ 本物の $\lambda$。

システムの「極」である関数のセットは、次のように定義できます。

$$K_{poles}=\{f[n]=\lambda(-1)^n:\forall \lambda \in \mathbb{R}\}$$

さて、 $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ ベクトル空間であり、 $K_{zeros}$ ベクトル空間であり、 $K_{poles}$ ベクトル空間です。

これで、2つの商スペースを定義できます（商スペースの詳細については、Wikipediaを参照してください）。

$$Q_{input} = \mathbb{R}^\mathbb{Z} / K_{zeros}$$

$$Q_{output} = \mathbb{R}^\mathbb{Z} / K_{poles}$$

あなたは考えることができます $Q_{output}$ のサブセットとして $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ フォームの信号コンポーネントを含まない $\lambda(-1)^n$、または代わりに、あなたは考えることができます $Q_{output}$ 同一であるとして $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$等価クラスを教え、「私たちの現在のアプリケーションのために、我々はすべての機能を検討します$y[n]$することがeqivalentへ$y[n]+\lambda(-1)^n$ 本物の $\lambda$」

これにより、新しいマッピングを再定義できます $M'$ からのマッピングとして $Q_{input}$ に $Q_{output}$。この新しいマッピングは、以前のマッピングとまったく同じです。$M$、それが動作するベクトル空間を減らした以外は。さらに、この新しいマッピングは全単射（「1対1」と「onto」）であるため、可逆であることが保証されています。

最後に、このマッピング、 $M'$は線形です。

したがって、この全体のとりとめのない説明のポイントは、適切な等価クラスを定義することによって（または、許容可能な関数のスペースを次のサブスペースに制限することによって） $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$）、マッピングが線形（および時間不変）でなければならないプロパティを維持できます。

たとえば、線形性のルールは、$x[n]$ 入力信号であり、 $\alpha$ は実際のスカラーであり、 $M(\alpha x) = \alpha M(x)$。したがって、これは、$\alpha=0$、したがって、 $M(0\times x)=y[n]=0$ （つまり、ゼロ信号をフィルターに入力すると、出力は $y[n]=0$）。

ただし、フィルターへの入力がゼロであるが、出力が次の形式であるという状況が考えられます。 $y'[n]=(-1)^n$なので、「システムが線形ではないことを証明しているので、 $y'[n]$はゼロではありません。しかし、出力ベクトル空間に適用した等価クラスは、「現在のアプリケーションでは、関数$y[n]$するeqivalentへ$y[n]+\lambda(-1)^n$ 本物の $\lambda$「つまり、 $y'[n]=(-1)^n$ゼロと同等です！