一様確率変数を使用してガウス確率変数を実装する

平均と分散を指定すると、ガウスランダム値を返すC ++関数を記述しようとしています。

とのrand()間の乱数を返すライブラリ関数があります。には固定値はありませんが、少なくともになることが保証されています。そのPDFは均一です。0RAND_MAXRAND_MAX$2^{15}-1$

これrand()をガウス変数に変換するために、中心極限定理を使用しています。私が正確にやっていることは、rand()ユーザーが指定した時間を呼び出し、それらの戻り値を合計して、その平均をユーザー指定の平均にシフトすることです。

上記のプロットでは、ガウスランダムジェネレーターを回呼び出し、戻り値の頻度をプロットしました。ご覧のとおり、他の多くのランダムな値の合計によって作成されるため、その分散は非常に大きくなります。$10^7$

これは、ガウスPDFと指定された平均値を持つガウス変数を正常に返します。ただし、問題はその分散です。分散をユーザー指定の値に変更する方法がわからないので、この時点で立ち往生しています。

これは私のコードです（現時点では不完全です。パラメータ「Variance」は無視されます）：

template <class T>
T Random::GetGaussian(T Mean /*= 0*/, T Variance /*= 1*/)
{
    T MeanOfSum = NUM_GAUSSIAN_SUMS / static_cast<T>(2);
    T Rand = 0;
    for (uint64_t i=0; i<NUM_GAUSSIAN_SUMS; i++)
    {
        Rand += static_cast<T>(rand()) / RAND_MAX;
    }
    return Rand - (MeanOfSum - Mean);
}

それNUM_GAUSSIAN_SUMSが100で、RAND_MAX32767 であると仮定します。

関数のパラメータに応じて確率変数の分散を変えたい。私の質問は、この確率変数の分散を変更するにはどうすればよいですか？どうすればできますか？

最初のアルゴリズムは、0と1の間で均一に分布するランダム変数を作成します。その分散は1/12です。そのNUM_GAUSSIAN_SUMSインスタンスを合計すると、分散はになりますNUM_GAUSSIAN_SUMS/12。ターゲット分散に到達するにはV、合計された確率変数にを乗算する必要がありますsqrt(V*12/NUM_GAUSSIAN_SUMS)。

余談ですが、テンプレートは浮動小数点数と倍精度浮動小数点数に対しては適切に機能しますが、固定小数点型には数値上の重大な問題があります。

この確率変数の分散を変更するにはどうすればよいですか？

もちろん掛け算で。分散、乗法定数であり、あなたの確率変数であるが、あるの分散。$c X$$c$$X$$c^2$$X$

さらに別の方法があります！

考えてみてください。ガウス分布ではなく他の分布が必要な場合はどうでしょうか。その場合、Central Limitの定理を実際に使用することはできません。それをどうやって解決しますか？

一様確率変数を任意のPDFに変換する方法があります。このメソッドは逆変換メソッドと呼ばれます

場合 均一間隔（0、1）、その後に分配されます$U[0-1]$

cdfます。$F_X (x)$

したがって、必要なことは、ユニフォームrvのサンプルから取得した変数に逆CDF関数を適用することだけです。

また、以前の方法とは異なり、これは反復を必要とせず、結果をガウス分布に近づけるために何回反復を行うかには依存しません。

これを証明する参考文献の 1つを次に示します。