ニュートン法を使用して平方根関数を近似することもできます。ニュートン法は、関数の根がどこにあるかを概算する方法です。また、収束するまで前の反復の結果が次の反復で使用される反復法でもあります。初期推定が与えられた場合、根が関数どこであるかを推定するニュートン法の方程式は、次のように定義されます。f(x)x0
x1=x0−f(x0)f′(x0)
x1は、ルートが配置されている場所の最初の推測です。方程式がリサイクルされ、答えが変わらないまで、以前の反復の結果が使用されます。一般に、回の反復での根の推測を決定するには、回の反復での推測を次のように定義します。(n+1)n
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
ニュートン法を使用して平方根を近似するには、数値が与えられてます。したがって、平方根を計算するには、を計算する必要があります そのため、ような答えを見つけようとします。両側を平方し、を方程式の反対側に移動と、得られ。そのため、この方程式の答えはあり、関数のルートになります。したがって、根を求めたい方程式としましょう。これをニュートン法にすると、となり、次のようになります。aa−−√x=a−−√ax2−a=0a−−√f(x)=x2−af′(x)=2x
xn+1=xn−x2n−a2xn
xn+1=12(xn+axn)
したがって、平方根を計算するには、収束するまでニュートン法を計算するだけです。ただし、@ robertbristow-johnsonが指摘しているように、除算は非常にコストのかかる操作です。特に、リソースが限られているマイクロコントローラー/ DSPの場合はそうです。また、推測が0になる場合もあり、除算演算により0除算エラーが発生する場合があります。したがって、私たちにできることは、ニュートンの方法を使用して、代わりに逆関数を解くことです。つまり、です。また、後で説明するように、これにより分割が回避されます。したがって、両側を二乗し、を左側に移動すると、ます。したがって、これに対する解決策はa1x=a−−√a−−√1x2−a=01a√。を掛けること、意図した結果が得られます。ここでも、ニュートンの方法を使用して、次のようになります。a
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
xn+1=xn−1(xn)2−a−2(xn)3
xn+1=12(3xn−(xn)3a)
ただし、上記の方程式を検討する際に考慮すべき警告があります。平方根の場合、解は正である必要があるため、反復（および結果）が正であるためには、次の条件を満たす必要があります。
3xn−(xn)3a>0
3xn>(xn)3a
(xn)2a<3
したがって：
(x0)2a<3
したがって、平方根を計算する数を指定すると、初期推定は上記の条件を満たす必要があります。これは最終的にマイクロコントローラーに配置されるため、（たとえば1）の任意の値から開始し、上記の条件が満たされるまでループを続け、の値を減らします。の値を直接計算するために除算を行うのを避けたことに注意してくださいx0x0x0除算は高価な操作であるためです。最初の推測が得られたら、ニュートンの方法を繰り返します。最初の推測に応じて、収束に時間がかかる場合とかかる場合があることに注意してください。それはすべて、実際の答えにどれだけ近いかによって異なります。反復回数の上限を設定するか、2つのルート間の相対差がしきい値（など）未満になるまで待つことができます。10−6
タグがでアルゴリズムを探しているCので、すぐにアルゴリズムを記述しましょう。
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
これは、ニュートン法のかなり基本的な実装です。先ほどお話しした条件が満たされるまで、初期推定値を半分ずつ減らしていきます。また、5の平方根を見つけようとしています。これは、およそ2.236に等しいことがわかっています。上記のコードを使用すると、次の出力が得られます。
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
ニュートンの方法が逆解の解を見つけていることに注意してください、そして最終的な答えを得るために最後にを掛けます。また、上記で説明した基準が確実に満たされるように、最初の推測が変更されたことにも注意してください。楽しみのために、9876の平方根を見つけてみましょう。a
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
ご覧のとおり、唯一異なるのは、平方根を計算するために必要な反復回数です。計算する数が多いほど、より多くの反復が必要になります。
この方法は以前の投稿ですでに提案されていることは知っていますが、私はこの方法を導出し、いくつかのコードを提供すると思いました！