等間隔ではないデータ用のSavitzky-Golay平滑化フィルター

100Hzで測定される信号があり、この信号にSavitzky-Golay平滑化フィルターを適用する必要があります。ただし、綿密な検査では、信号は完全に一定の速度で測定されず、測定間のデルタは9.7〜10.3 msの範囲です。

等間隔ではないデータにSavitzky-Golayフィルターを使用する方法はありますか？他に適用できる方法はありますか？

1つの方法は、等間隔になるようにデータをリサンプリングすることです。その後、任意の処理を実行できます。データの間隔が均一ではないため、線形フィルタリングを使用した帯域制限リサンプリングは適切なオプションではありません。そのため、ある種のローカル多項式補間（キュービックスプラインなど）を使用して、基になる信号の値が「正確」であるものを推定できます10ミリ秒間隔。

方法のためサビツキー・ゴーレイフィルタが導出される（つまり、ローカル最小二乗として多項式フィット）、自然な一般化は、不均一なサンプリングにあります-それだけではるかに計算コストが高いのです。

一般的なSavitzky-Golayフィルター

$y_0\dots y_4$$Ac = y$

$$\begin{bmatrix}-2^0 & -2^1 & -2^2 \\ -1^0 & -1^1 & -1^2 \\ 0^0 & 0^1 & 0^2 \\ 1^0 & 1^1 & 1^2 \\ 2^0 & 2^1 & 2^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_0 \\ c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{bmatrix}.$$

$c_0 \dots c_2$$c_0 + c_1x + c_2x^2$$x = 0$$c_0$$c = (A^TA)^{-1}A^T y\space$

$$\begin{bmatrix}c_0 \\ c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 12 & 17 & 12 & -3 \\ -7 & -4 & 0 & 4 & 7 \\ 5 & -3 & -5 & -3 & 5 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{bmatrix}.$$

$c_0 + c_1x + c_2x^2$$c_1 + 2c_2x$$c_1$

不均一サンプリング

$x_n$$t_n$$0$

$$\begin{align} t_{-2} & = x_{-2} - x_0 \\ t_{-1} & = x_{-1} - x_0 \\ t_0 & = x_0 - x_0 \\ t_1 & = x_1 - x_0 \\ t_2 & = x_2 - x_0 \end{align}$$

各設計マトリックスは次の形式になります。

$$A = \begin{bmatrix} t_{-2}^0 & t_{-2}^1 & t_{-2}^2 \\ t_{-1}^0 & t_{-1}^1 & t_{-1}^2 \\ t_0^0 & t_0^1 & t_0^2 \\ t_1^0 & t_1^1 & t_1^2 \\ t_2^0 & t_2^1 & t_2^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & t_{-2} & t_{-2}^2 \\ 1 & t_{-1} & t_{-1}^2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & t_1 & t_1^2 \\ 1 & t_2 & t_2^2 \end{bmatrix}.$$

$A$ $c_0$

「安い代わりに、一つは単純にデータポイントがあることふりをすることができている 等間隔...
で変更した場合$f$ の全幅にわたって $N$ ポイントウィンドウが $\sqrt{N/2}$ 単一のポイントで測定ノイズを掛けると、安価な方法を使用できます。」
$\qquad -$ 数値レシピ pp。771-772

（派生は誰ですか？）

（「等間隔のふりをする」という意味：
最も近い$\pm N/2$ それぞれの周りのポイント $t$ SavGol（$t$）、
すべてをスナップしない$t_i \to i$。それは明らかかもしれませんが、しばらくの間私を手に入れました。

Matlabでsavitzky-golayアルゴリズムを使用するには2つの方法があることがわかりました。1回はフィルターとして、1回は平滑化機能として使用しますが、基本的には同じことを行う必要があります。

1. yy = sgolayfilt（y、k、f）：ここで、値y = y（x）はxで等間隔であると想定されます。
2. yy = smooth（x、y、span、 'sgolay'、degree）：ここで、xを追加入力として使用でき、Matlabヘルプを参照するとxを等間隔にする必要はありません！

何らかの助けがあれば、datageistによって記述されたメソッドのC実装を作成しました。ご自身の責任で自由に使用してください。

/**
 * @brief smooth_nonuniform
 * Implements the method described in  /signals/1676/savitzky-golay-smoothing-filter-for-not-equally-spaced-data
 * free to use at the user's risk
 * @param n the half size of the smoothing sample, e.g. n=2 for smoothing over 5 points
 * @param the degree of the local polynomial fit, e.g. deg=2 for a parabolic fit
 */
bool smooth_nonuniform(uint deg, uint n, std::vector<double>const &x, std::vector<double> const &y, std::vector<double>&ysm)
{
    if(x.size()!=y.size()) return false; // don't even try
    if(x.size()<=2*n)      return false; // not enough data to start the smoothing process
//    if(2*n+1<=deg+1)       return false; // need at least deg+1 points to make the polynomial

    int m = 2*n+1; // the size of the filter window
    int o = deg+1; // the smoothing order

    std::vector<double> A(m*o);         memset(A.data(),   0, m*o*sizeof(double));
    std::vector<double> tA(m*o);        memset(tA.data(),  0, m*o*sizeof(double));
    std::vector<double> tAA(o*o);       memset(tAA.data(), 0, o*o*sizeof(double));

    std::vector<double> t(m);           memset(t.data(),   0, m*  sizeof(double));
    std::vector<double> c(o);           memset(c.data(),   0, o*  sizeof(double));

    // do not smooth start and end data
    int sz = y.size();
    ysm.resize(sz);           memset(ysm.data(), 0,sz*sizeof(double));
    for(uint i=0; i<n; i++)
    {
        ysm[i]=y[i];
        ysm[sz-i-1] = y[sz-i-1];
    }

    // start smoothing
    for(uint i=n; i<x.size()-n; i++)
    {
        // make A and tA
        for(int j=0; j<m; j++)
        {
            t[j] = x[i+j-n] - x[i];
        }
        for(int j=0; j<m; j++)
        {
            double r = 1.0;
            for(int k=0; k<o; k++)
            {
                A[j*o+k] = r;
                tA[k*m+j] = r;
                r *= t[j];
            }
        }

        // make tA.A
        matMult(tA.data(), A.data(), tAA.data(), o, m, o);

        // make (tA.A)-¹ in place
        if (o==3)
        {
            if(!invert33(tAA.data())) return false;
        }
        else if(o==4)
        {
            if(!invert44(tAA.data())) return false;
        }
        else
        {
            if(!inverseMatrixLapack(o, tAA.data())) return false;
        }

        // make (tA.A)-¹.tA
        matMult(tAA.data(), tA.data(), A.data(), o, o, m); // re-uses memory allocated for matrix A

        // compute the polynomial's value at the center of the sample
        ysm[i] = 0.0;
        for(int j=0; j<m; j++)
        {
            ysm[i] += A[j]*y[i+j-n];
        }
    }

    std::cout << "      x       y       y_smoothed" << std::endl;
    for(uint i=0; i<x.size(); i++) std::cout << "   " << x[i] << "   " << y[i]  << "   "<< ysm[i] << std::endl;

    return true;
}