離散時間フーリエ変換と離散フーリエ変換の違い

私はDTFTとDFTに関する多くの記事を読みましたが、DTFTが無限大になり、DFTがN-1までしか見えないことを除いて、両者の違いを見分けることはできません。誰が違いを説明し、何をいつ使用するのですか？ウィキは言う

DFTは、離散時間フーリエ変換（DTFT）とは異なり、入力および出力シーケンスが両方とも有限です。したがって、有限領域（または周期的）離散時間関数のフーリエ解析と言われています。

唯一の違いですか？

編集： この記事では、その違いをうまく説明しています。

離散時間フーリエ変換（DTFT）は、離散時間信号の（従来の）フーリエ変換です。その出力は、周波数が連続的で周期的です。例：連続時間信号のサンプルバージョンのスペクトルを見つけるには、DTFTを使用できます。$x(kT)$$x(t)$

離散フーリエ変換（DFT）は、DTFT出力の（周波数領域での）サンプルバージョンとして見ることができます。コンピューターは有限数の値しか処理できないため、コンピューターを使用して離散時間信号の周波数スペクトルを計算するために使用されます。私は、DFT出力が有限であることに反対します。同様に周期的であるため、無限に継続できます。

まとめると：

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*）DFTの数学的特性は、その入力と出力の両方がDFT長周期的であることです。つまり、DFTへの入力ベクトルは実際には有限ですが、DFT入力が周期的であると考えられる場合、DFTがサンプリングされたスペクトルであると言うのは正しいことです。$N$

申し分なく、私はこれに、DFTに関する私の厳格なナチのような立場への「反対者」の主張で答えるつもりです。

まず第一に、私の硬直した、ナチのような位置：DFTと離散フーリエ級数は同じです。DFT は、「時間」ドメインの周期 1つの無限周期シーケンスを、「周波数」ドメインの周期別の無限周期シーケンスにマッピングします。iDFTはそれをマップし直します。そして、それらは「単射」または「可逆」または「一対一」です。$x[n]$$N$$X[k]$$N$

DFT：

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT：

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

それが最も基本的にはDFTです。それは本質的に周期的または循環的なものです。

しかし、周期性の否定はDFTについてこれを言いたがりません。それは本当で、上記のいずれも変更しません。

したがって、長さ有限長シーケンスがあると仮定します。$x[n]$$N$あり、それを定期的に拡張するのではなく（これはDFTが本質的に行うことです）、この有限長シーケンスを左右に無限にゼロで追加します。そう

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

現在、この非反復無限シーケンスには DTFTがあります。

DTFT：

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$はのZ変換で、無限に多くの実数に対して単位円で評価されます。値。さて、DTFTを単位円上の等間隔の点でサンプリングし、1つの点をにサンプリングする場合、あなたは得るだろう$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

これがDFTとDTFTの関係です。「周波数」ドメインで一定間隔でDTFTをサンプリングすると、「時間」ドメインで元のシーケンスが繰り返され、すべての倍数だけシフトされ、重複加算されます。これが、あるドメインでの均一なサンプリングが他のドメインで引き起こすことです。しかし、は区間外側ではであると仮定されているため、その重複加算は何もしません。元の有限長シーケンスであるの非ゼロ部分を定期的に拡張するだけです。$\hat{x}[n]$$N$$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$$x[n]$

DTFT出力は連続的であるため、コンピューターで処理することはできません。したがって、この連続信号を離散形式に変換する必要があります。計算を減らすためのFFTのさらなる進歩としてのDFTに他なりません。

正しい場合、DFT入力が周期的であっても、サンプル数は有限ですが、その背後にある数学は、それをN終了後に周期的にサンプルを開始する無限シーケンスとして扱います。間違っている場合は修正してください。

DFT： 逆になります：

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$