画像の場合、周波数領域は何を示していますか？

私は画像の周波数領域について学んでいました。

波の場合の周波数スペクトルを理解できます。波に存在する周波数を示します。我々はの周波数スペクトルを描く場合$\cos(2\pi f t)$、私たちはでインパルス信号を取得$-f$と$+f$。また、対応するフィルターを使用して特定の情報を抽出できます。

しかし、画像の場合、周波数スペクトルは何を意味しますか？OpenCVで画像のFFTを取得すると、奇妙な画像が表示されます。この画像は何を示していますか？そして、そのアプリケーションは何ですか？

私はいくつかの本を読みましたが、それらは物理的な意味よりも多くの数学的な方程式を与えます。だから誰も画像処理でそれを簡単に適用して画像の周波数領域の簡単な説明を提供できますか？

しかし、画像の場合、周波数スペクトルは何を意味しますか？

「数学の方程式」は重要なので、完全にスキップしないでください。しかし、2D FFTには直感的な解釈もあります。説明のために、いくつかのサンプル画像の逆FFTを計算しました。

ご覧のとおり、周波数領域には1つのピクセルのみが設定されています。画像ドメインでの結果（実際の部分のみを表示しました）は、「回転コサインパターン」です（虚数部分は対応するサインになります）。

周波数領域で別のピクセルを設定した場合（左の境界で）：

別の2D周波数パターンを取得します。

周波数領域で複数のピクセルを設定した場合：

2つの余弦の合計を取得します。

したがって、サインと余弦の合計として表すことができる1d波のように、任意の2d画像は（大まかに言って）上記のように「回転したサインと余弦」の合計として表すことができます。

opencvで画像を高速で撮影すると、奇妙な画像が表示されます。この画像は何を示していますか？

これは、サイン/コサインの振幅と周波数を示し、合計すると元の画像になります。

そして、そのアプリケーションは何ですか？

それらをすべて挙げるには本当に多すぎます。相関と畳み込みはFFTを使用して非常に効率的に計算できますが、それはより最適化されているため、FFTの結果を「見る」ことはありません。高周波成分は通常、単なるノイズであるため、画像圧縮に使用されます。

これは、よく知られている「DSPガイド」（第24章、セクション5）に非常によく書かれていると思います。

フーリエ解析は、1次元信号の場合とほぼ同じ方法で画像処理に使用されます。ただし、画像の情報は周波数領域でエンコードされていないため、この手法の有用性ははるかに低くなります。たとえば、オーディオ信号のフーリエ変換が行われると、わかりにくい時間領域の波形がわかりやすい周波数スペクトルに変換されます。

これに対して、画像のフーリエ変換を行うと、空間領域の簡単な情報が周波数領域のスクランブル形式に変換されます。つまり、画像にエンコードされた情報を理解するのにフーリエ変換が役立つとは思わないでください。

そのため、もちろん、典型的な画像（以下の例など）のDFTを取得することで得られる一見ランダムなパターンの背後には、いくつかの構造と意味がありますが、人間の脳が直感的に理解する準備ができているという形ではありません。少なくとも視覚については。

ここに、画像のフーリエ変換に含まれるものと、それをどのように解釈できるかについての興味深い興味深い読みやすい説明があります。一連の画像があり、フーリエ変換された画像と元の画像の対応関係が非常に明確になります。

編集：このページもご覧ください。これは、画像の知覚的に重要な情報のほとんどが周波数表現の位相（角度）コンポーネントにどのように保存されるかを示します。

編集2：フーリエ表現における位相と大きさの意味の別の例： TUデルフトの教科書「画像処理の基礎」の「セクション3.4.1、位相と大きさの重要性」はこれを非常に明確に示しています。

波は1次元の波です。のみに依存します。波は2次元の波です。とに依存します。ご覧のとおり、どちらの方向にも2つの周波数があります。$f(t)=cos (ωt)$$t$$f(x,y)=cos(ωx+ψy)$$x$$y$

したがって、フーリエ変換の（FFT）変換あなたを与えるだろうただのFFTのように、あなたに与え。また、入力が2Dコサインを合計する関数である場合、2D FFTはそれらのコサインの周波数の合計になります。これも1D FFTの直接アナログです。$cos(ωx+ψy)$$ω,ψ$$cos(ωx)$$ω$

フーリエ解析が直交関数と呼ばれる概念の特別なケースであることは注目に値するかもしれません。基本的な考え方は、複雑な信号をより単純な「基底」関数の線形重ね合わせに分解することです。基底関数で処理または分析を行い、基底関数の結果を合計して、元の信号の結果を取得できます。

これが機能するためには、基底関数に特定の数学的要件があります。すなわち、理想的には正規直交基底を形成します。フーリエ変換の場合、基底関数は複素指数です。ただし、他にも多くの機能を使用できます。

画像では、周波数の増加は、明るさや色の急激な変化に関連しています。さらに、通常、ノイズはスペクトルのハイエンドに埋め込まれるため、ローパスフィルタを使用してノイズを低減できます。

このコンテキストでは非常に素晴らしいデモ：http : //bigwww.epfl.ch/demo/basisfft/index.html