メディアンフィルターのノイズリダクションプロパティの背後にある数学は何ですか？

画像（または信号）にメディアンフィルターを適用するとノイズが低減する理由を数学的に理解することに興味があります。

直感：直感は次のとおりです：ノイズはまれなイベントであり、他のイベントと比較すると、実際には存在しないはずの異常値のように見えます。

たとえば、高速道路を通過するすべての車の速度を測定してプロットすると、通常は次のような範囲にあることがわかります。 $50$ 時速 $70$mph。ただし、上司のデータを検査していると、速度を記録したことがわかります。$1,000,000$mph。この値は、高速道路での実際の車の速度を物理的に理解できないだけでなく、他のデータからも大きく突き出しています。このイベントを奇妙な測定エラーまでチョーキングし、それを削除して、残りのデータを上司に渡します。

ただし、毎日測定を続けると、時々、速度のワイルドな測定値が得られることに気づきます。たとえば、1時間のスパンで1000台の車を測定し、その速度は$50$ そして $70$ mph、しかしそれらの3つはの速度を持っています $23,424$ mph、 $12,000,121$ mph、そして $192,212,121,329,982,321,912$ 時々、地方の法律だけでなく、理論物理学の法律も破ります。

あなたは継続的に立ち入る必要があることにうんざりし、手で安いレーダーによって引き起こされたこれらの誤ったデータポイントを削除します。結局のところ、あなたの上司は実際には速度の統計にのみ関心があり、実際のすべての値に関心があるわけではありません。彼はのために素敵なヒストグラムを作るのが好き彼の上司。

これらの誤った数値は、みなさんが考える「ノイズ」の一種です。「ノイズ」は、怪しげな質屋から購入した安値レーダーが原因です。ノイズはホワイトガウスノイズの加法性ですか？（AWGN）。はい、いいえ-スペクトルは広帯域で白色ですが、一時的にまれで、まばらで、非常に局所化されています。これは「ソルトアンドペッパー」ノイズと呼ばれる方がよい（特に画像処理ドメインでは）。

したがって、実行できることは、中央値フィルターを介してデータを実行することです。あなたの中央値フィルターは一言言うでしょう、$5$速度ポイント（ポイント1〜5）は中央値を見つけ、その値を「平均」速度として吐き出します。次に、次の5ポイント（ポイント2〜6）を取り、その中央値を取り、これを平均として吐き出します。

光速よりも速い速度の1つに遭遇するとどうなりますか？あなたの5つの速度が[45、65、50、999999、75]であったとしましょう。通常の平均を取ると、ここでの「平均」速度はかなり大きくなります。ただし、中央値を取ると、「平均」は65になります。実際に測定しようとしている平均に最も近いのはどれですか。中央値メトリック。

したがって、メジアンフィルターでデータをフィルター処理すると、それらの外れ値が確実に削除され、信号が忠実に「ノイズ除去」されます。対照的に、従来のフィルタリングを介してノイズを除去しようとした場合（移動加重和以外はありません）、代わりにデータ全体のエラーを「塗りつぶし」、それを取り除きません。

数学：数学はこれです：測定値の中央値は、オーダー統計と呼ばれるものです。つまり、注文された後、ある時点に沿ってデータの値を返します。maxとminはどちらも順序統計です-順序付けされた後、データの極値を返します。中央値を取ると、順序付けされたデータの値も返されますが、真ん中からです。

しかし、なぜそれらが平均フィルターと異なるのですか？まあ、平均フィルターはすべてのデータを使用して平均を計算します。最大値、最小値、中央値から気づいた場合、すべてのデータを使用せずに回答を得ています。実際、中央値で行うことは、データを並べて、真ん中の値を選択することだけです。測定した大きな速度のように、外れ値に「触れる」ことはありません。

これが中央値-注文統計-が異常値ノイズを「除去」できる理由です。外れ値ノイズは中央値の前にそれ自体を分離し、中央値はそれに近づいたり考慮したりすることはありませんが、中心傾向の良い見積もりを提供します。

正規分布を持つ独立確率変数を想定すると、値がたとえば2つの標準偏差を超える確率は約0.01になります。

幅3の中央値フィルターがある場合、外れ値が通過するためには、そのトリプレットに平均の同じ側に2つの外れ値が含まれている必要があります。このイベントは、$2 \cdot 0.005^2 =$ 0.00005。

メディアンフィルターの幅が大きくなると、異常値が通過する確率が指数関数的に減少します。