エイリアシングはいつ良いことですか？

ハミングの本「科学と工学の実践」で、彼は次の話を述べています。

海軍大学院のグループは、サンプリング定理に従って理解できるように、非常に高い周波数の信号をサンプリングできる範囲まで変調していました。しかし、高周波を巧妙にサンプリングすると、サンプリング動作自体がそれを変調（エイリアス）することに気付きました。数日間の議論の後、彼らは周波数を下げる機器のラックを取り外し、残りの機器はより良く走りました！

回避すべき副作用とは対照的に、信号処理の主要な手法としてエイリアシングを使用する他の方法はありますか？

質問の引用テキストは、バンドパスサンプリングまたはアンダーサンプリングを使用する場合です。

ここで、エイリアシング歪みを回避するために、対象の信号はバンドパスでなければなりません。つまり、信号のパワースペクトルは、。$f_L < |f| < f_H$

レートで信号をサンプリングする場合、後続の繰り返しスペクトルがオーバーラップしないという条件は、エイリアシングを回避できることを意味します。繰り返されるスペクトルは、f sの整数倍ごとに発生します。$f_s$$f_s$

数学的には、エイリアシングの歪みを避けるためにこの条件を書くことができます。

$$\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}$$

ここで、は次の条件を満たす整数です。$n$

$$1 \le n \le \frac{f_H}{f_H - f_L}$$

下の図に示すように、上記のウィキペディアのリンクから取得できるように、これを行うことができるいくつかの有効な周波数範囲があります。

上記の図で、問題が灰色の領域にある場合、バンドパスサンプリングでエイリアシングの歪みを回避できます-サンプリングされた信号がエイリアシングされていても、信号のスペクトルの形状を歪ませていません。

思い浮かぶのは、デジタル復調です。線形変調方式の最適な検出器は、各シンボルの中間サンプルに一致するフィルタリングと間引きです。

マッチドフィルタリングは帯域幅を削減する上であまり良い仕事をしないかもしれませんが、それでもシンボルレートで決定をしたいです。

この場合のエネルギーのエイリアシングは、変調されたシンボルの再構築の一部です。

重要な点は、エネルギーが正しい位相で首尾一貫してエイリアシングしなければならないということです。つまり、タイミングが重要です。

超解像は、エイリアシングが必要な別の分野であり、またはそれをより良くするために、光学系はチェーン内の最も弱いリンクであってはなりませんチェーン）

エイリアシングが問題にならないもう1つの時間は、デシメーションに使用されるローパスフィルターを設計するときです。間引き操作後にある程度のエイリアシングを許可して、フィルターのパフォーマンスに対する制約を緩和し、低次の設計を実現できます。間引き後のナイキスト周波数に阻止帯域のエッジを配置する代わりに、フィルターの通過帯域にエイリアシングが戻らないように（そして、目的の信号が破損するように）十分にスライドさせることができます。

$f_s$$D$$f_p$$\frac{f_s}{2 D}$

遮断帯域が間引きされたナイキスト周波数を超えてブリードできると断言したので、2番目のナイキストゾーンでのエイリアシングの仕組みを思い出してください：周波数コンテンツ$\frac{f_s}{2 D} + \Delta f$$\frac{f_s}{2 D} - \Delta f$$f_{stop} = \frac{f_s}{2 D} + \Delta f$$\Delta f$

$$f_{stop_{aliased}} = \frac{f_s}{2 D} - \Delta f \ge f_p$$

$$\Delta f \le \frac{f_s}{2 D} - f_p$$

これからのポイントは、デシメーション後の信号にまだかなりの量のオーバーサンプリングが存在する場合（これを行う理由はいくつかあります）、重要でない量でストップバンドを押し出すことができます。定量的な尺度として、「単純な」フィルター仕様と「緩和された」フィルター仕様の遷移比を調べることができます。

$$T_{naive} = \frac{f_p}{f_{stop_{naive}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}} = \frac{2 D f_p}{f_s}$$

$$T_{relaxed} = \frac{f_p}{f_{stop_{relaxed}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D} + (\frac{f_s}{2 D} - f_p)} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}$$

$$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{\frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}}{\frac{2 D f_p}{f_s}}$$

$$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{1}{2 - \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}}}$$

この最後の式は、このようにフィルター仕様を緩和することで得られる遷移比の改善のコンパクトな表現を提供します。フィルターの通過帯域（つまり、対象の信号の帯域幅）とデシメーション後のナイキスト周波数の比によってパラメーター化されます。この比率を通過帯域周波数の関数としてプロットすると（デシメーション後のサンプルレートで正規化されます）、次のようになります。

つまり、要約すると、デシメーション操作の後も信号がまだ十分にオーバーサンプリングされている場合、このように仕様を緩和することで、フィルターの遷移率を最大2分の1に減らすことができます。経験則として、FIRフィルターに必要なタップの数は、遷移比にほぼ比例します。デシメーションを実行するときにエイリアスが許可されますが、仕様は、エイリアスが目的の信号と重複しないように設計されています。これにより、デシメートされたサンプルレートで動作するフィルターによって、必要に応じて後で削除できます。$\frac{f_s}{D}$。

エイリアシングは特定の条件下では確かに良いことです。

このように見てください：サンプリングレートが100 Hzであるとしましょう。また、どこかに、たとえば990〜1010 Hzの信号があるとしましょう。（したがって、その合計帯域幅は20 Hzであり、中心は1000 Hzです）。

よし、今何？

この信号を100 Hzのレートでサンプリングしたとします。起こるのは、信号（990-1010から1000Hzを中心とする）がコピーされ、100の整数倍でシフトされることですか？

したがって、900、800、700、600など、および1100、1200、1300などを中心とするものを除いて、突然、元の990-1010信号のコピーがあります。BWはもちろん同じです。したがって、900を中心とする信号のコピーは890〜910 Hzを占有します。800 Hzにあるコピーは790〜810 Hzを占有し、以下同様に続きます。また、「ベースバンド」にコピーがあります（つまり、0Hzを中心としているため、-10〜10Hzを占有します）。

それで、これはいつ役に立つのでしょうか？さて、あなたがやったことを見てください-あなたはちょうど1000Hzで座って信号を取り、ベースバンドでそれを置き、そしてこれらすべてはちょうど100Hzで動作するサンプラーでできました！そして、何だと思います！ナイキストによると、これはすべて合法的に行われました！

これは、ナイキストが最大周波数の少なくとも2倍でサンプリングする必要があるとは言っていないためです。（しかし、非常に一般的な誤解。）彼は、あなたがあなたの信号の最大帯域幅の少なくとも2倍、この場合は20Hz をサンプリングする必要があると言います。

アプリケーション？さて、携帯電話の多くの基地局は実際にこの「アンダーサンプリング」技術を使用しています。したがって、携帯電話の信号はGhzの高い範囲にあり、基地局は数百Mhzの範囲でサンプリングしています。

ところで、ナイキストが実際にどのように機能するかを見て、「アンダーサンプリング」という用語は好きではありません。しかし、私たちは断言します！ナイキストを完全にフォローしており、常に問題の信号の最大帯域幅の少なくとも2倍をサンプリングしています。