実離散フーリエ変換

私は、実際のDFTとDFT、およびその違いが存在する理由を理解しようとしています。

私が知っていることから、これまでにDFTが使用する基底ベクトルおよび得られる表現和歴史的な理由からからに書かれていますが、 $e^{i2\pi kn/N}$

バツ [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} バツ [k] e^{私 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

の

：

このanomoly場合DFTの特有に依存高い周波数が負の周波数と同じである：

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

バツ [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} バツ [k] e^{私 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

。

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

フーリエ級数との類推を続けると、実際のDFTは

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} （ a_{n} \cos n θ + b_{n} 罪 n θ ）

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

私の質問では、なぜDFTは実際のDFTよりもはるかに普及しているのでしょうか？実際のDFTは実際の値のサインとコサインを基礎として使用しているため、人々がより好む幾何学的な画像をよりよく表現していると予想されます。指数関数の代数がより単純であるため、理論的な意味でDFTと連続フーリエ変換が好まれる理由がわかります。しかし、より単純な代数を無視して、実用的な計算応用の観点から、なぜDFTがより役立つのでしょうか？信号を正弦波と余弦波に分解するよりも、さまざまな物理学、音声、画像などのアプリケーションで、複雑な指数関数で信号を表す方が便利なのはなぜですか。また、上記の博覧会で私が見逃している微妙なことがあれば、私は知りたい：私は

dft

— user782220
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N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

ところで：実際のフーリエ変換とハートレー変換の両方について、これら2つの論文を読むことを強くお勧めします。彼らは、DFT自体とは別に、これらの方法への関心を説明するのに良い仕事をしています。

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

Van Loanの章の1つでは、質問について詳しく説明しています。これは、クロネッカー製品の操作に関するある程度のスキルを前提としています。

少なくとも、現在の質問よりも質問の数を少なくする必要があります。

$A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$ 同じ指数のになります。重みは異なりますが、。さらに、それぞれの新しい重みは、古い重みに適切な数を掛けることによって取得されます。

$\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos （ ω t ） & = \frac{\exp （ j ω t ） + \exp （ - j ω t ）}{2} \\ 罪 （ ω t ） & = \frac{\exp （ j ω t ） - \exp （ - j ω t ）}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

$\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ 出力、1つのベーシス関数で表されます。 $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos （ α + β ） = \cos （ α ） \cos （ β ） - 罪 （ α ） 罪 （ β ）

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$ 。複雑な指数関数を使用すると、人生はずっと楽になります。

しかし、実際の生活と同様に、走行距離は変化する可能性があり、sin / cos表現が進むべき道であり、複雑な指数関数を避ける必要があると感じた場合は、自由に心に従うことができます。同僚、上司、クライアント、またはコンサルタントにアイデアを伝えることが困難な場合、それはあなたではなく彼らの損失になります。

— ディリップ・サルワテ
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