MOD-N循環たたみ込み

2つのシーケンスおよび MOD-2循環たたみ込みを見つける方法。 $h =[-1,3,-2,1]$ $x = [1,-1,-2,1,3,2,1,2]$

私は答えがmatlabからことを知っていますが、グラフィックまたは数学的にそれを見つける方法がわかりません $7$ $0$

discrete-signals convolution

書く $h(z) = -1 + 3z -2z^2 + z^3$ そして、を計算します。つまり、をで除算し、余りだけを取ります。これは非常に複雑に見えますが、少し考えると、をと分割しているだけです。と短いベクトルを追加してを取得します。について繰り返し、長さ 4つのベクトルを追加してを取得します $h(z) \bmod (z^2 - 1)$ $h(z)$ $z^2 - 1$ $[-1\quad3\ -2\quad 1]$ $[-1\quad 3]$ $[-2\quad 1]$ $[-3\quad 4]$ $x = [1 \ -1\ -2\quad 1 \quad 3 \quad 2\quad 1 \quad 2]$ $2$ $[3\quad 4]$ 。これは、特定のコマンドを提案する構文に精通していませんが、MATLABで行うのはそれほど難しいことではないでしょう。次に、MATLAB関数を呼び出さずに、との巡回畳み込みを計算します。 結果は $[-3\quad 4]$ $[3\quad 4]$

[{(- 3) \times 3 + 4 \times 4} {(- 3) \times 4 + 4 \times 3}] = [7 0]

$[\{(-3)\times 3 + 4\times 4\}\quad \{(-3)\times 4 + 4 \times 3\}] = [7\quad 0]$

数学的には、あなたがやっていることはを計算することです。これは最初にFFTを使用してを見つけることで空想的に行うことができます。計算（これは長いベクトルを効果的に短い断片に切り分けて追加する）、またはより単純に最初に計算することによってと（より短いベクトルに切り刻み、それらを追加）してから、循環畳み込みこれは簡単です。 $h(z)x(z) \bmod (z^2-1)$ $h(z)x(z)$ $\bmod (z^2-1)$ $\hat{h}(z) = h(z) \bmod (z^2-1)$ $\hat{x}(z) = x(z) \bmod (z^2-1)$ $\hat{z}(z)\hat{x}(z) \bmod (z^2 - 1)$

Chop-add-convolveはconvolve-chop-addよりも簡単です

— ディリップ・サルワテ
ソース

"chop add convolve"のMatlabは次のようになります：ifft（fft（sum（reshape（x、2 ,, length（x）/ 2）、2））。* conj（fft（sum（reshape（h、2、length（h ）/ 2）、2））））

— ピシェネット2012

chop-addコードの提案に感謝しますが、私はifft（fftの部分に同意しません。2つのlength-ベクトルの循環たたみ込みは、fftsなどを呼び出さずに直接計算する必要があります。、fftsとifftsの正式なメカニズムはほとんど必要ありません値が大きい場合のModulo-は別の問題です。Modulo-場合は過剰です

2

$2$

\begin{aligned} (a + b z) (c + d z) mod (z^{2} - 1) & = (a c + (a d + b c) z + b d z^{2}) mod (z^{2} - 1) \\ = (a c + b d) + (a d + b c) z \end{aligned}

$\begin{align*}(a+bz)(c+dz)\bmod(z^2-1)&=(ac+(ad+bc)z+bdz^2)\bmod (z^2-1)\\&=(ac+bd)+(ad+bc)z\end{align*}$

N

$N$

N

$N$

2

$2$

— Dilip Sarwate

はい、IFFT（FFT（）* CONJ（FFT（））。）だけ大きなN.のために有用であるとの巡回畳み込みを行う

— pichenettes

@pichenettes fftアプローチは、（fft）を計算し、乗算してから、畳み込みを見つけます2つのマルト、2つのスケーリング、6つの加算を使用した、結果。直接計算は4つのマルトと2つの加算が必要です。直接コーディングする場合、それはトスアップに近いですが、直接的な方法にはわずかな利点があると思います。MATLABサブルーチン呼び出しのオーバーヘッドを考慮すると、直接法の方が高速です。しかし、もちろん、これらはすべて、実行されている他のものと比較した計算時間におけるピーナッツの比較です。

a + b, a - b, c + d, c - d

$a+b,a-b, c+d,c-d$

e = (a + b) (c + d), f = (a - b) (c - d)

$e=(a+b)(c+d), f=(a-b)(c-d)$

(e + f) / 2

$(e+f)/2$

(e - f) / 2

$(e-f)/2$

a c + b d, a d + b c

$ac+bd, ad+bc$

— Dilip Sarwate、2012

1つのアプローチは、フルサイズの循環たたみ込みを「再ラップ」することです。

sum(reshape(ifft(fft(x, 8) .* conj(fft(h, 8))), 2, 8 / 2), 2)

別の実装は、FFTを直接間引くことです。

N = 2;
Xf = fft(x); Xf = Xf(1:length(Xf) / N:end);
Hf = fft(h); Hf = Hf(1:length(Hf) / N:end);
ifft(Xf .* conj(Hf))

再現したいのがMATLABのcconvの動作である場合、MATLABファイルのソースコードを見るのが最善かもしれません:)

— ピケネット
ソース