位相シフトのない因果関係フィルターは存在できますか？

半導体と誘電体の屈折率の分散を研究しているときに、私の教授は、フィルター（いくつかの光周波数を吸収する誘電体や電気RCフィルターなど）がいくつかの周波数を除去する場合、残りの周波数は位相シフトする必要があることを説明しようとしました因果関係を維持するために、信号全体から差し引かれる周波数（通常の単色信号のように時間的に無限に広がる）を補正します。

私は彼が何を話しているのかを直感的に理解していますが、彼の議論が本当に正当化されるかどうか、つまり、いくつかの周波数を吸収し、残りの周波数をシフトせずに維持しながら、重要なフィルターが存在できるかどうかはわかりません因果関係。私はそれを構築しているようには見えませんが、それが存在しないことを証明することもできません。

したがって、問題は、因果フィルターが周波数の位相を互いに相対的にシフトしなければならないことをどのように証明することができるでしょうか？

線形フィルターにインパルス応答と周波数応答/伝達関数とします。ここで、はというプロパティがあります。（共役制約）。$h(t)$$H(f) = \mathcal F [h(t)]$$H(f)$$H(-f) = H^*(f)$

さて、このフィルターの複素指数入力に対する応答は、 そしてこのフィルタが位相シフトを引き起こさないようにするには 、すべてのでなければなりません。 $x(t) = e^{j2\pi f t}$

位相シフトがない代わりに、すべての周波数に対して固定された一定の位相シフトを許可する場合はどうでしょうか？つまり、すべてのは、が必要がない場合に受け入れられます。なので、余分な緯度はあまり役に立ちません。そのため、は、その値がない限り、すべての固定定数値を持つことはできません。 $\angle H(f) = \theta$F $f$$\theta$$0$$\angle H(-f) = -\angle H(f)$$\angle H(f)$$f$$0$

フィルターが位相をまったく変更しない場合、は実数値の関数であり、共役制約のため、これは偶関数でもあると結論付け ます。しかし、そのフーリエ変換は時間の偶数関数であるため、フィルターは因果関係になり得ません（些細な場合を除いて）。そのインパルス応答が特定のに対して非ゼロの場合、次の場合にも非ゼロになります。（）。$H(f)$f h （t ）t > 0 − t − t < 0$f$$h(t)$$t > 0$$-t$$-t < 0$

フィルターは周波数抑制を行う必要がないことに注意してください。つまり、位相シフトがゼロでは不可能であるという主張を証明するために、一部の周波数がフィルターによって「除去」されるという前提は必要ありませんでした（OPの教授のフィルターが行うように）。因果フィルター付き、周波数サプレッサー付きまたはなし。

「線形」の位相シフト、つまり一定の遅延を引き起こすフィルターがあります。遅延を引き起こさずに（原因として）何もフィルタリングすることは不可能です。

位相シフトは時間遅延、つまり信号がシステムの入力から出力に到達するのにかかる時間によるものです。システムが位相シフトを引き起こしていない場合は、時間遅延がゼロであることを意味します。次に、入力が適用されると同時に出力を提供するシステムについて考えてみましょう。それは可能ですか？もちろん、システムがない場合、信号を処理して遅延を発生させ、最終的に位相シフトを実行する必要があります。

位相シフトなしのフィルターを使用できます。これはオブザーバー（予測子）と呼ばれます。それはもはや単なるフィルターではありませんが、複数のセンサー測定値が互いにどのように関連しているかの数学モデルです。したがって、信号を予測することができるため、測定を行うのと同じ瞬間（位相シフトなし）で実際の信号を最良に予測できます。