FIRフィルターには極が含まれているのに、なぜ安定しているのですか？

• FIRフィルターが常に安定しているのはなぜですか？

• ポールが含まれているため、他のポールよりも安定性の問題の影響が大きいのではないですか？

FIRフィルターにはゼロのみが含まれ、極は含まれません。フィルターに極が含まれる場合、IIRです。IIRフィルターは確かに安定性の問題に悩まされており、注意して取り扱わなければなりません。

編集：

いくつかのさらなる検討と落書きとグーグル検索の後、私は、FIRポールのこの質問に対する答えがあると思います。

一見ポールレスなFIRフィルターのZ変換から開始： としては、RBJの答えに示されているが、FIR極は、分子と分母乗算することによって明らかにされているH（Zを）によってZN： H（Z）=B0のZ N +B1つのZ N - 1 +B2Z N - 2 +⋯+b

$$H(z) = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_N z^{-N}}{1}$$ $H(z)$$z^{N}$ したがって、一般的なFIRフィルターの原点でN極が得られます。 $$H(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N}}$$ $N$

ただし、これを示すために、因果関係の仮定がフィルターに置かれます。実際、因果関係が仮定されていないより一般的なFIRフィルターを検討すると、 異なる数の極（N−k）が原点に現れます： G（z）=b0z N +b1z N − 1 +b2z N − 2 +⋯+b

$$G(z) = \frac{b_0 z^{k} + b_1 z^{k-1} + b_2 z^{k-2} + \cdots + b_N z^{k-N}}{1}$$ $(N-k)$ $$G(z) = \frac{b_0 z^{N} + b_1 z^{N-1} + b_2 z^{N-2} + \cdots + b_N }{z^{N-k}}$$

したがって、私は次のように結論付けます。

• （元の質問への回答）一般に、FIRフィルターには極がありますが、常にZ平面の原点にあります。それらは決して単位円を超えないため、FIRシステムの安定性に対する脅威にはなりません。
• $N$$k$$N^{th}$$(k=0)$$N$
• $$H(z) = z^{-1} = \frac{1}{z}$$

$z=0$

すべての極が単位円の内側にあるため、FIRフィルターは表面上安定しています。

これはおそらく、OPが考えているFIRフィルターではありませんが、同じ位置でゼロによって相殺される単位円の外側または外側に極を持つかもしれないTruncated IIRフィルター（TIIR）と呼ばれるFIRフィルターのクラスがあります。これの最も簡単な例は、移動合計または移動平均フィルターです。ただし、I / Oの観点からは、これらのTIIRフィルターはFIRです。

しかし、私は単純に「安定性」を保証しません。制御システム言語を使用すると、TIIRフィルターは「完全に観測可能」ではなく、インパルス応答の長さが有限であるために安定しているように見えますが、フィルターの内部では地獄に陥り、有限の精度で最終的に内部不安定性が発生します出力に表示されます。

「FIRフィルターには極がない」という概念を否定する必要があります。真実ではありません。

「FIRフィルターに極があることを数学的に示すことはできますか？–ジムクレイ

このFIRが因果関係があると仮定できますか？

$N$$N+1$

有限インパルス応答： $\quad h[n] = 0 \quad \forall \quad n>N, \ n<0$

FIRの伝達関数：

$$\begin{align} H(z) & = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} h[n] z^{-n} \\ & = \sum_{n=0}^{N} z^{-N} h[n] z^{N-n} \\ & = z^{-N} \sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^n \\ & = \frac{\sum_{n=0}^{N} h[N-n] z^{n}}{z^N} \\ & = \frac{h[N] + h[N-1]z + h[N-2]z^2 + \cdots + h[1]z^{N-1} + h[0]z^N}{(z-0)^N} \\ \end{align}$$

あなたがしなければならないことは、分子を因数分解することであり、ゼロがどこにあるかを知ることができます。しかし、すべての極がFIRフィルターのどこにあるかは明らかです。また、FIRフィルターの次数と同じ数の極があります。これらの極は周波数応答に影響しないことに注意してください。フェーズを除く。

定義により、実際にはいくらか。有限のエネルギーを入力すると、フィルターはエネルギー入力の倍数のみを最大限に供給するため（そのインパルス応答には有限のエネルギーがあります）、結果の信号は最大限にエネルギー入力の倍数になります。IIRフィルターのように、共鳴することはできません。これはケネデスの回答の背後にもあります。

FIRフィルターの極が取り外し可能である理由について、誰も実際に触れていないので、以下でこれに答えようとしました。

FIRフィルターには、原点に取り外し可能な極があります。これは、インパルス応答の境界に必要なためです。それは極の周りにあり、それが正則であるように関数を定義することが可能です（その領域のすべての点で微分可能）。

リーマンの定理は、信号がその領域のすべての点（有限数の点を除く）で微分可能である場合、関数が制限されるこれらの特別な点の周囲に近傍が存在するということです。この定理の意味は双方向です。したがって、FIRフィルターには制限されたインパルス応答が必要であるため、インパルス応答は単位円内のすべての点で微分可能でなければなりません。したがって、信号は一貫性のある方法で拡張できるため、特異点はありません（つまり、極は取り外し可能です）。

それが、FIRフィルターのz変換に負のべき乗が含まれない理由です。 $z$。