離散時間フーリエ変換

私は中学生であり、エレクトロニクス、プログラミングなどの全般的な魅力を持っています。最近、私は信号処理について学んでいます。

残念ながら、私はまだ多くの計算を行っていません（私を許して）ので、私は物事に少しあいまいです。

• 信号のDTFTを計算する場合、その信号のまたは表現の違いは何ですか？$\sin$$\cos$

• DTFTを使用すると、入力した信号が時間的に離散することがわかりますが、世界でどのように周波数領域で連続的な信号を実現できますか？

• これは私の2番目の質問につながります。DTFTはどのように役立つのでしょうか？ほとんどのアプリケーションでどこで使用されていますか？

助けていただければ幸いです。

教育パスの初期段階での信号処理に興味があることは素晴らしいことです。

そこにたどり着くための最良の方法は、このトピックに関する紹介本を読むことです。始めるための優れた無料のオンラインリソースがたくさんあります。[尊敬される編集者への注意：良い紹介本は、「スティッキー」にとって本当に良いトピックかもしれません]。時々使う

• http://www.dsprelated.com/dspbooks
• http://www.dspguide.com/pdfbook

腕を動かすために必要な最も重要な数学的概念の1つは、「複雑な」数字です。それほど複雑ではなく、ほぼすべての工学計算が明らかに簡単になるため、明らかに間違った呼び名です。数学に関連するすべてのもののための別の素晴らしい無料のリソースはhttp://www.khanacademy.orgであり、この場合は特に http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

最初の質問に戻ります。実際、フーリエ変換には4つの異なる種類があります。フーリエ級数（高校で最もよく見られる）、フーリエ変換、離散フーリエ変換、離散フーリエ級数です。それらのすべては、サインとコサインの両方の組み合わせ（または本質的に同じものである複素指数）を使用します。両方が必要です。

入力正弦波の正弦および余弦フーリエ係数を計算するとします。（特定の条件下で）1つのコサイン係数と1つのサイン係数を除いて、すべてのフーリエ係数がゼロになることがわかります。ただし、入力正弦波の位相に応じて、これら2つの数値は動き回ります。[0.707 0.707]、[1 0]、[0 -1]、または[-0.866 0.5]などを取得できます。これら2つの数値の2乗の合計は常に1ですが、実際の値は入力正弦波の位相に依存します。

深く掘り下げたい場合は、これを試してください：http : //www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

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INFINITYプロジェクト：信号処理ベースの工学教育を高校の教室に拡大

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DTFT離散時間フーリエ変換は、離散無限信号を入力として受け取り、周波数領域での出力は連続的であり、周期は2 * piです。私の経験では、DFT（離散フーリエ変換）の使用法は実用的な目的に使用されるものです。特定の条件下では、有限の非周期信号のDFTがDTFTの等間隔サンプルにすぎないことを簡単に示すことができます。一般に、時間（または空間）ドメインでシーケンスをゼロパディングすると、DTFTのサンプルが増えます。

結論として、DFTは非常に有用であり、DFTはDTFTの等間隔サンプルと見なすことができ、DTFTのより多くのサンプルを取得するために、信号のゼロパッドが役立ちます。

まず、用語を整理するのに役立ちます。

時間領域の関数は、シグナルとして知られています。
周波数領域の関数は、スペクトルとして知られています。

$$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$$ $$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$$ $$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$$ $$s_f(x)=s(x)$$

この方程式で、a _nおよびb _nは、それぞれ離散スペクトルの実数部と虚数部です。したがって、ご覧のとおり、コサインのフーリエ変換は実数になり、サインの場合は虚数になります。積分のTは、信号の全期間にわたって積分していることを意味します。これは主に、非正弦波信号（方形波、三角波など）でアナログ回路を解析するときによく使用する高調波解析で使用されますが、信号が周期的でない場合はどうなりますか？これは機能せず、フーリエ変換を使用する必要があります。

フーリエ変換は、連続信号を連続スペクトルに変換します。フーリエ級数とは異なり、フーリエ変換では、非周期関数をスペクトルに変換できます。非周期関数は常に連続スペクトルになります。

離散時間フーリエ変換は、フーリエ変換と同じ結果を達成しますが、連続（アナログ）信号ではなく、離散（デジタル）信号に対して機能します。DTFTは連続スペクトルを生成できます。これは、信号自体が連続的ではない場合でも、非周期的信号が常に連続スペクトルを生成するためです。たとえ離散的であっても、信号には無限の数の周波数が残っています。

したがって、あなたの質問に答えるために、DTFTはデジタル信号で動作し、したがってデジタルフィルターを設計することができるため、おそらく最も有用なものです。デジタルフィルターは遠いアナログよりも効率的です。彼らははるかに安く、はるかに信頼性が高く、設計がはるかに簡単です。DTFTはいくつかのアプリケーションで使用されます。シンセサイザー、サウンドカード、録音機器、音声および音声認識プログラム、生物医学装置、その他いくつか。純粋な形式のDTFTは主に分析に使用されますが、離散信号を取得して離散スペクトルを生成するDFTは、上記のアプリケーションのほとんどにプログラムされており、コンピューターサイエンスの信号処理の不可欠な部分です。DFTの最も一般的な実装は、高速フーリエ変換です。ここにあるシンプルな再帰アルゴリズムです。これがお役に立てば幸いです！ご質問がある場合は、お気軽にコメントしてください。

pv。として 上記のDFTは、「周波数領域」でDTFTをサンプリングすることによって取得されます。ご存知かもしれませんが、離散時間信号は連続時間信号をサンプリングすることにより取得されます。ただし、連続時間信号をその離散時間対応物から完全に構築するには、サンプリングレートをナイキストレートより大きくする必要があります。これを実現するには、連続時間信号の周波数を制限する必要があります。

DTFTとDFTの場合、ストーリーは何らかの形で逆転します。「周波数」ドメインで連続しているDTFTがあります。基本的に、連続信号を保存してコンピューターで処理することはできません。ソリューションはサンプリング中です！したがって、DTFTからサンプリングし、結果DFTを呼び出します。ただし、DFTからDTFTを完全に再構築するためのサンプリング定理によれば、DTFTの時間領域対応物は「時間」制限されなければなりません。そのため、DFTを実行する前にウィンドウ処理を使用する必要があります。