対数間隔のパワースペクトルを計算するにはどうすればよいですか？

周波数が対数間隔になっているパワースペクトルを計算したいと思います。

でWelch法トレードオフの結果として得られるパワースペクトルの周波数分解能及び平均の数（結果、すなわち誤差）との間に存在します。このトレードオフを動的にしたい、つまり、低周波数でより良い解像度を得るために、低周波数ポイントの平均を少なくします。

これを行う標準的な方法はありますか？

1つの方法は、最初pwelchに非常に高い解像度（平均数が少ない）で行い、次に対数ビニングを使用して結果のスペクトルを再ビンニングすることです。

この質問に直接対処する論文を見つけました。

• MichaelTröbsおよびGerhard Heinzel、「対数周波数軸上のデジタル化された時系列からのスペクトル推定の改善」、 Measurement、vol 39（2006）、pp 120-129。（または無料のプレプリント。）

論文の最初のいくつかの図は、このアルゴリズムが解決する問題をうまく示しており、参考文献には他のアプローチ（定数Q変換、焼き戻しフーリエ変換、調査記事など）の有用な参考文献が含まれています。

彼らのアプローチは、既存のFFTベースのパワースペクトル推定の出力を再ビン化するのではなく、対象の（対数間隔の）周波数で離散フーリエ変換のみを計算することです。推定される各周波数に対して、彼らは基本的にウェルチのアルゴリズムを実装しますが、各周波数に対して特別に選択された変換長（したがって、平均の数）を使用します。各周波数ビンの計算では、時系列全体が使用されますが、セグメントが異なります。結果には、解像度（ビン幅）が周波数の滑らかな関数であり、結果をパワースペクトル密度またはパワースペクトルとして較正できるという望ましい特性があります。

Matlabの実装はこちら：https : //github.com/tobin/lpsd

開示：この論文の著者は、私と同じ機関にいます。

この場合、最小二乗法を使用して、既知の値のリストの頻度を計算します。最も一般的な方法はLombメソッドです。FFTまたはDFTと非常によく似た動作をしますが、特定の周波数でのみ周波数を計算し、問題があれば、欠落データを処理できます。アイデアは次のとおりです。

1. サンプリングする目的の周波数帯域に適合する、計算する周波数のリスト（）を決定します。$w$
2. 周波数、それらがサンプリングされた、および値が与えられると、次のように周波数のパワーをます。$w$$t_j$$X_j$

$P_x(\omega) = \frac{1}{2} \left( \frac { \left[ \sum_j X_j \cos \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2} { \sum_j \cos^2 \omega ( t_j - \tau ) } + \frac {\left[ \sum_j X_j \sin \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2} { \sum_j \sin^2 \omega ( t_j - \tau ) } \right)$

これはFFTほどうまくスケーリングできないため、必要な周波数の数がすべてのデータを収集するために必要なFFTよりもはるかに少ない場合にのみこれを行います。

それ以外の場合、FFTまたはDFTの補間方法またはその他の再サンプリングを行うことができます。