DSP技術を使用したSNRの改善

キャリア周波数のない光OOK（キーリングのオン）システムを構築しています。[ただし、シンボル間にガードタイムがあるため、連続した「1」メッセージはDCとは対照的にパルス列になります。画像を参照してください]。基本的に、シグナルの存在は1を示し、シグナルの欠如はゼロを示します。レシーバーとトランスミッターを同期する正確なクロックがあります。システムは低いSNRで動作し、DSP技術を使用してSNRを改善するのが好きです。

少し質問があります：

ハードウェアで選択的なサンプリングを行います。言い換えると、チャネルを連続的にサンプリングするのではなく、信号を見る確率が最大の場合にのみサンプリングします（つまり、これは光パルスであり、ADCが最後にサンプリングするようにADCの時間を計りますアナログチェーン全体が安定していることがわかっているパルスの）。画像をご覧ください。

当然、この図面にはノイズは表示されませんが、そこにあります。これは特に低信号システムであり、主なノイズ源はショットノイズ、ジョンソンノイズ、およびアンプの内部ノイズです。（光学システムなので、Sun以外の干渉物はありません）。私のノイズの観測は、すべての周波数で類似していることを示しています。（少なくともスコープに表示されるもの）

ソフトウェアで単純なしきい値比較を使用して、データが1かゼロかを判断します。もっと良い方法はありますか？私はいくつかの選択肢を考えましたが、専門家からの連絡をお待ちしています。

これまでのところ、次のオプションを検討しました。

• 連続ADCを実行し、立ち上がり時に統合を試みます：利点については完全にはわかりません（他の利点があるかもしれませんが、わかりません）。

• ソフトウェアの一致フィルター：数学を本当に理解していないが、私が読んだものに基づいて、可能性

• ガード時間中にサンプリングし、これを信号ADC値から減算します（これにより、さらに詳細な情報が得られる場合がありますが、確かではありません。ガード時間はノイズ測定になります）

• ハードウェアを同期デコーダーに変更すると、コストがかかり、時間がかかり、データレートが高速であり、同期復調器を取得すると、マルチMHz搬送周波数システムを構築する必要があるため、高価なボードになるため、うまく機能しない可能性があります。

バックグラウンドノイズのパワースペクトルがフラットであることを示したので、白であると仮定します。現在のアプローチの主な欠点は、大量の信号電力を廃棄していることです。フロントエンドの帯域制限の効果が指数関数的な立ち上がりステップ応答によってダイアグラムに示されている場合でも、丸みを帯びたパルスの終わり近くの単一のADCサンプルは、時間的にかなりローカライズされたレシーバー入力のスナップショットを提供します。より高いレートでサンプリングし、より高いサンプルレートで整合フィルターを適用することにより、より多くの信号電力を活用できます。

理論：

これは、検出理論における比較的単純な問題とみなすことができます。各シンボル間隔で、受信者は次の2つの仮説を決定する必要があります。

$$\begin{eqnarray*} H_0 &:& signal \ is \ not \ present \\ H_1 &:& signal \ is \ present \end{eqnarray*}$$

この種の問題は、ベイジアン決定ルールを使用して解決されることがよくあります。ベイジアン決定ルールは、指定されたリスクの尺度に従って最適な決定を試みます。これにより、柔軟な一連の基準に基づいて最適な検出決定を行うことができるフレームワークが提供されます。たとえば、信号が実際に存在する場合に信号の検出に失敗するとシステムに大きなペナルティがある場合（つまり、がtrueのときにを選択場合）、必要に応じて決定ルールに組み込むことができます。H $H_0$$H_1$

受信者の出力でゼロと1のどちらを決定しようとするようなあなたのような検出問題の場合、ペナルティは通常等しいと想定されます（1が送信されたときにゼロを出力し、逆も同様です） ）。その場合のベイジアンアプローチは、最尤推定量（ここでも説明します）に還元されます。受信者が観測した場合、最も可能性の高い仮説を選択します。つまり、受信者が観測する量が場合、最大の尤度関数値を持つ仮説に基づいて決定が生成されます。バイナリ決定の場合、代わりに尤度比を使用できます。$x$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{P(x\ |\ signal \ is \ not \ present)}{P(x\ |\ signal \ is \ present)}$$

上記のモデルを使用して、チャネル各観測に対して、尤度比が1より大きい場合（したがって信号が最も大きかった場合、最適な受信機は信号が存在しない（したがってゼロを出力する）と判断します観測に基づいて存在しない可能性が高い）、およびその逆。Λ （X $x$$\Lambda(x)$

残っているのは、関心のある信号のモデルと、その決定に影響を与える可能性がある受信機検出統計他のコンポーネントです。このようなデジタル通信の場合、次のようにモデル化できます。$x$

$$\begin{eqnarray*} H_0 &:& x = N \\ H_1 &:& x = s + N \end{eqnarray*}$$

ここで、はある分布から得られたランダム変数（多くの場合、ゼロ平均ガウス分布であると想定されます）、は、あなたが探している信号による観測の決定論的な要素です。したがって、受信者の観測可能なの分布は、仮説またはが真であるかどうかによって異なります。尤度比を評価するには、それらの分布のモデルが必要です。上記のガウスの場合、数学は次のようになります。s x H 0 H $n$$s$$x$$H_0$$H_1$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{P(x\ |\ x = N)}{P(x\ |\ x = s + N)}$$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{e^{\frac{-x^2}{2 \sigma^2}}}{e^{\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}}}$$

ここで、はガウスノイズ項の分散です。加法信号成分には、結果のガウス分布の平均をシフトする機能しかないことに注意してください。対数尤度比は、指数関数を取り除くために使用することができます。$\sigma^2$$x$

$$\ln(\Lambda(x)) = \ln\left(\frac{e^{\frac{-x^2}{2 \sigma^2}}}{e^{\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}}}\right) = \left(\frac{-x^2}{2 \sigma^2}\right) - \left(\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}\right)$$

尤度比が1より大きい場合、決定ルールは選択したことを思い出してください。対数尤度がゼロより大きい場合、同等の対数尤度決​​定ルールはを選択することです。一部の代数は、決定規則が次のようになることを示しています。H $H_0$$H_0$

$$\begin{eqnarray*} x < \frac{s}{2} \rightarrow choose\ H_0 \\ x > \frac{s}{2} \rightarrow choose\ H_1 \end{eqnarray*}$$

場合、両方の仮説が等しく発生する可能性があり、どちらかを選択する必要があることに注意してください。ただし、これは連続値信号の実用的な懸念事項ではありません。したがって、既知の信号振幅与えられた場合、しきい値設定することにより、ガウスノイズの背景に対するその存在を最適に検出できます。観測値がより大きい場合、信号が存在することを宣言して信号を発信し、その逆も同様です。 sT=$x = \frac{s}{2}$$s$ x$T = \frac{s}{2}$$x$$T$

練習：

この単純なおもちゃの理論例に潜むいくつかの実用的な問題があります。1つ：説明したシナリオを一見単純に見えるモデルにマッピングするだけでは、簡単に思えない場合があります。第二に、探している信号の振幅を知ることは非常にまれなので、しきい値の選択にはいくつかの考慮が必要です。$s$

前に参照したように、正規分布は非常に扱いやすいため、ノイズはしばしばガウス分布であると想定されます。独立したガウス分布の合計は依然としてガウス分布であり、その平均と分散も加算されます。また、分布の1次および2次統計は、それらを完全に特徴付けるのに十分です（ガウス分布の平均と分散が与えられたら、そのpdfを書くことができます）。ですから、少なくともあなたのアプリケーションにとっては、これがまともな近似であることを願っています。

上述のモデルを与えられた検出器の性能を改善するための2つの方法があります：あなたは増やすことができますそれはより多くのノイズに対して目立つ作り、（すなわち、信号電力を増加します）。減らす（つまり、ノイズの量を減らす）と、の存在が不明瞭になる干渉の量を減らすことができます。または、同等に、代わりに信号対雑音比を考えることができます。その重要性を確認するために、少し理論に戻りましょう。決定ルールが与えられた場合、ビットエラーの確率はどのくらいですか？N $s$$N$$s$

$$\begin{eqnarray*} P_e &=& P(choose \ H_0 \ |\ H_1\ true) P(H_1\ true) + P(choose \ H_1 \ |\ H_0\ true) P(H_0\ true) \\ &=& \frac{1}{2} P(x < \frac{s}{2} \ |\ x = s + N) + \frac{1}{2} P(x > \frac{s}{2} \ |\ x = N) \\ &=& \frac{1}{2} F_{x\ |\ x = s + N}\left(\frac{s}{2}\right) + \frac{1}{2} \left(1 - F_{x\ |\ x = N}\left(\frac{s}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$$

ここで、ある累積分布関数の観測分布のとすれば、（と同様に他の機能のために）。ガウス分布の累積分布関数を代入すると、次のようになります。$F_{x\ |\ x = s + N}(z)$$x$$x = s + N$

$$\begin{eqnarray*} P_e &=& \frac{1}{2} \left(1 - Q\left(\frac{\frac{s}{2} - s}{\sigma}\right)\right) + \frac{1}{2} Q\left(\frac{\frac{s}{2}}{\sigma}\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{\frac{s}{2} - s}{\sigma}\right) + Q\left(\frac{\frac{s}{2}}{\sigma}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{-s}{2\sigma}\right) + Q\left(\frac{s}{2\sigma}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{-SNR}{2}\right) + Q\left(\frac{SNR}{2}\right)\right) \\ &=& Q\left(\frac{SNR}{2}\right) \end{eqnarray*}$$

ここで、はQ関数です。$Q(x)$

$$Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{\frac{-z^2}{2}} dz$$

（つまり、標準正規分布のpdfのテール積分、またはから分布のcdfを引いたもの）およびは信号対雑音比です。上記の関数は、厳密に減少する関数です。信号の振幅とノイズの標準偏差の比を大きくすると、ビット判定エラーが発生する確率が低下します。したがって、この比率を上げるためにできることは何でもしなければなりません。$1$$SNR$$\frac{s}{\sigma}$$SNR$$s$$\sigma$

ノイズは白色でガウス分布であるという仮定を覚えていますか？それは今私たちを助けることができます。ノイズが白色でガウスの場合、各観測に含まれるノイズ成分は互いに独立しています。独立したランダム変数の重要な特性は、それらを合計すると、平均と分散が合計されることです。それでは、シンボル間隔ごとに1つのサンプルを取得する代わりに、2つのサンプルを取得し、それらを合計する別の単純なケースを考えてみましょう。簡単にするために、パルス形状は矩形（指数関数的上昇ではない）であると仮定します。そのため、各観測と信号成分は同じです。単一の観測間の信号対雑音比の違いは何ですか$s$$x_1$$x_2$$x_1$ と2つの独立したものの合計？

$$SNR_1 = \frac{s}{\sigma}$$

$$SNR_2 = \frac{2s}{\sqrt{2 \sigma}} = \sqrt{2}SNR_1$$

したがって、結合された観測の信号対雑音比は、単一のサンプルのみを使用する場合よりも大きくなります（両方のサンプルで等しい信号成分と等しい分散のホワイトガウスノイズを仮定した場合）。これは、シンボル間隔ごとに複数のサンプルを取得し、それらを一緒に統合することの潜在的な利点を指摘する基本的な観察です（これは、矩形パルスの場合、整合フィルターです）。一般に、シンボル間隔全体をサンプルでカバーし、受信機が各シンボルの送信エネルギーを「取り込み」、結合出力のSNRを最大化するようにします。バックグラウンドノイズの分散に対するシンボルエネルギーの比率は、デジタル通信システムのパフォーマンスを評価する際の性能指数としてよく使用されます。$\frac{E_s}{N_0}$

より厳密には、整合フィルターの形状は、受信機のパルス形状と同一のインパルス応答を持つこと（つまり、「一致」しますが、インパルス応答が時間的に反転するというわずかな例外があります） （したがって、より大きな信号成分を持つサンプルをより強く重み付けします）。その形状は、送信されたパルス形状と、帯域制限やマルチパスなど、チャネルまたは受信機のフロントエンドによって引き起こされる影響の関数です。

この種の配置を実際に実装するには、ADCによって取得されたサンプルのストリームを、時間反転された予想されるパルス形状で畳み込みます。これには、考えられるすべての時間オフセットについて、パルス形状と受信信号間の相互相関を計算する効果があります。実装は、利用可能な正確な時間同期によって支援されるため、どの一致したフィルター出力サンプルが正しいサンプリングの瞬間に対応するかを正確に知ることができます。これらの時点でのフィルター出力は、上記の理論モデルの検出統計として使用されます。$x$

以前にしきい値の選択について言及しましたが、これは複雑なトピックになる可能性があり、システムの構造に応じて、さまざまな方法で選択できます。オンオフキーシステムのしきい値の選択は、未知の信号振幅によって複雑になります。対pod信号（バイナリ位相シフトキーイング、BPSKなど）のような他の信号コンステレーションには、より明確なしきい値の選択があります（BPSKの場合、同等の可能性のあるデータの最適なしきい値はゼロです）。$s$

OOKのしきい値セレクターの1つの単純な実装では、多くの観測値の平均を計算できます。ゼロと1が同じ確率であると仮定すると、結果のランダム変数の期待値は信号振幅の半分であり、これが求めるしきい値です。スライディングウィンドウ上でこの操作を実行すると、さまざまな背景条件にある程度適応することができます。

これは、検出理論に関するデジタル通信に固有の問題の高レベルな紹介にすぎないことに注意してください。これは非常に複雑なトピックであり、多くの統計が関係します。基礎となる理論を忠実に保ちながら、理解しやすくすることを試みました。より良い説明については、Sklar'sのような優れた教科書を入手してください。

可能なテクニックの1つは、定期的なトレーニングシーケンスを使用して統計を収集し、1と0を区別するか、特定のしきい値の信頼性メトリックを計算するだけでなく、さまざまなビットシーケンスが適応ビット決定しきい値に与える影響を分析することです。