実生活における独立した非相関データの例、およびそれらを測定/検出する方法

このデータのベクトル対この他のデータのベクトルは互いに独立している、または無相関などであると常に耳にしますが、これらの2つの概念に関する数学に出会うのは簡単ですが、実際の例にそれらを結び付けたいと思います人生、そしてこの関係を測定する方法を見つけます。

この観点から、私は次の組み合わせの2つの信号の例を探しています：（いくつかから始めます）：

独立したAND（必然的に）無相関の2つの信号：
- 車のエンジンからのノイズ（）と話しているときの声（）。 $v_1[n]$ $v_2[n]$
- 毎日の湿度の記録（）およびダウジョーンズインデックス（）。 $v_1[n]$ $v_2[n]$

Q1）これらの2つのベクトルを手にして、それらが独立していることをどのように測定/証明しますか？独立とは、pdfの積が結合pdfに等しいことを意味し、それは素晴らしいことですが、これらの2つのベクトルがあれば、どのように独立性を証明できますか？

独立していないがまだ相関していない2つの信号：

Q2）ここでの例を考えることはできません...いくつかの例は何でしょうか？このような2つのベクトルの相互相関を取ることで相関性を測定できることはわかっていますが、それらが独立していないことをどのように証明しますか？

相関する2つの信号：
- メインホールのオペラ歌手の声を測定するベクトル。誰かが建物内のどこか、たとえばリハーサルルーム（）からの声を録音します。 $v_1[n]$ $v_2[n]$
- 車の心拍数（）を継続的に測定し、後部のフロントガラスに当たる青色光の強度（）も測定した場合、これらは非常に相関していると推測されます。。:-) $v_1[n]$ $v_2[n]$

Q3）q2に関連していますが、この経験的な観点から相互相関を測定する場合、それらのベクトルの内積を調べるだけで十分ですか（相互相関のピークの値であるため）？なぜ相互相関関数の他の値が重要なのでしょうか？

感謝します

cross-correlation independence

— スペイシー
ソース

@DilipSarwate Dilip、ありがとうございます。今のところ、いくつかの例が良いでしょう。

— スペイシー

よく構成された世論調査でも、誰もがどのように投票するかを「証明」できないのと同じ方法で、同じ理由で、独立していることを「証明」することはできません。

— ジム・クレイ

@JimClay「証明」という基準を自由に緩和してください-私が目指しているのは、独立性を測定/定量化する方法です。そういうことをよく耳にし、独立していることをよく知っています。どの測定テープが使用されていますか？

— スペイシー

分析のために、高解像度と低解像度の2つのアナログ信号にCrosの相関を使用できるかどうかを知りたいのですが。

ランダム変数Xがあり、2つの信号a ** =（x）と** b ** =（x）を $f_1$ $f_2$ $f_1$ $f_2$ 構築し、とが直交し、** x = a + bである場合。これは、そのような信号が独立していることを意味しますか？これにはいくつかの追加条件が必要ですか？それはの共同PDF構築避けるため、このプロパティは興味深いものになるだろうとBを。

— ムラデン

回答:

いくつかの要素...

2つの分布が独立しているかどうかを確認するには、それらの結合分布が周辺分布の積にどれだけ似ているかを測定する必要があります。この目的のために、分布間の距離を使用できます。Kullback-Leibler発散を使用してこれらの分布を比較する場合、数量を考慮します。 $p(x,y)$ $p(x) \times p(y)$

$\int_x \int_y p(x, y) \log \frac{p(x, y)}{p(x) p(y)} dx dy$

そして、あなたは...相互情報を認識するでしょう！値が低いほど、変数は独立しています。

より現実的には、観測からこの量を計算するには、カーネル密度推定器を使用してデータから密度、、を推定し、細かいグリッドで数値積分を行うことができます; または、データをビンに定量化し、離散分布の相互情報の表現を使用します。 $p(x)$ $p(y)$ $p(x, y)$ $N$

統計の独立性と相関に関するウィキペディアのページから：

分布プロット

最後の例を除いて、これらの2D分布は無相関（対角共分散行列）ですが、独立ではない周辺分布および持っています。 $p(x, y)$ $p(x)$ $p(y)$

実際に、相互相関関数のすべての値を確認できる状況があります。たとえば、オーディオ信号処理で発生します。同じソースをキャプチャしているが、数メートル離れている2つのマイクを検討してください。2つの信号の相互相関は、マイク間の距離を音速で除算したものに対応する遅れで強いピークを持ちます。ラグ0の相互相関を見ると、1つの信号が他の信号のタイムシフトバージョンであることはわかりません。

— ピケネット
ソース

pichenettesに感謝します：1）最初の点について詳しく説明してもらえますか？x [n]とy [n]の2つのデータベクトルから、JOINT PDFを思いつくことができます。、。私はx [n]のヒストグラムをとるとXのpdf（）がYでも同じになることを理解できますが、2つのベクトルが与えられると一体どうやって結合するのでしょうか??具体的に尋ねる-観察されたサンプルからのPDFの正確な具体的なマッピングこれが私を最も混乱させているものです（続き）

p (x, y)

$p(x,y)$

p(x}

$p(x}$

— Spacey

（続き）2）要約すると、xとyの共分散行列が対角である場合、それらは無相関ですが、必ずしも独立して正しいわけではありませんか？独立性をテストすることは、フォローアップの質問（1）の問題でした。ただし、それらが独立していることを示す場合、もちろん、それらの共分散行列は対角になります。私は正しく理解しましたか？依存しているが相関していない実生活で測定できる2つの物理信号の例は何ですか？再度、感謝します。

— スペイシー

要素のベクトルとして表される2つの信号およびがあるとします。たとえば、カーネル密度推定器を使用して、推定値を取得できますここで、はカーネル関数です。または、ヒストグラムの作成と同じ手法を2Dで使用できます。長方形のグリッドを作成し、グリッドの各セルに含まれるペア数をカウントし、を使用します。Nは信号のサイズで、は、点関連付けられたセル内の要素の数です。

x_{n}

$x_n$

y_{n}

$y_n$

N

$N$

p (x, y)

$p(x, y)$

p^{*} (x, y) = \sum_{i} \frac{1}{N} K (x - x_{i}, y - y_{i})

$p^*(x, y) = \sum_i \frac{1}{N}K(x - x_i, y - y_i)$

K

$K$

(x_{n}, y_{n})

$(x_n, y_n)$

p^{*} (x, y) = \frac{C}{N}

$p^*(x, y) = \frac{C}{N}$

C

$C$

(x, y)

$(x, y)$

— pichenettes

「依存しているが相関していない2つの物理信号」：NYタクシーのGPSをハッキングして、その位置の（緯度、経度）履歴を記録するとしましょう。緯度が長い可能性が高いです。データは無相関になります-点群の特権的な「方向」はありません。ただし、タクシーの緯度を推測するように求められた場合、経度を知っていれば、より良い推測を提供できます（地図を見て[lat、長い]ペアが建物に占有されています）。

— pichenettes

別の例：同じ周波数の整数倍の2つの正弦波。ヌル相関（フーリエ基底は正規直交）; しかし、一方の値がわかっている場合、もう一方が取得できる値のセットは有限です（リサージュプロットを考えてください）。

— pichenettes

2つの信号が独立しているかどうかを推測することは、事前の知識/仮定なしに行うことは非常に困難です（有限の観測が与えられた場合）。

二つの確率変数との値があれば独立しているの値についての情報与えるものではありません（つまり、私たちの事前確率分布には影響しません）。これは、任意の非線形変換に相当し及び無相関、すなわちされ任意非線形ため両方の変数の平均がゼロであると仮定した場合のおよび独立性と無相関性の違いは、上記が成り立つ場合に限り、とは無相関であることです。 $X$ $Y$ $X$ $Y$ $Y$ $X$ $Y$

cov (f_{1} (X), f_{2} (Y)) = E (f_{1} (X), f_{2} (Y)) = 0

$\text{cov}(f_1(X),f_2(Y)) = E(f_1(X),f_2(Y)) = 0$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

X

$X$

Y

$Y$

f_{1} (x) = f_{2} (x) = x

$f_1(x) = f_2(x) = x$ 、恒等関数です。

結合ガウス性を仮定する場合、次数2より大きい結合モーメントはすべてゼロに等しく、この場合、無相関は独立を意味します。事前の仮定がない場合、結合モーメント推定により、それらが互いにどの程度依存しているかに関する情報が得られます。 $E(X^iY^j)$

これを信号一般化できます $X(t)$ $Y(t)$

S_{X, Y} (f), S_{X^{2}, Y} (f), S_{X, Y^{2}} (f) \dots

$S_{X,Y}(f),S_{X^2,Y}(f),S_{X,Y^2}(f) \dots$

f

$f$

例：

X (t) = \sin (2 π f t)

$X(t) = \sin(2 \pi ft)$

Y (t) = \sin (2 π f t k)

$Y(t) = \sin( 2 \pi ftk)$

k \in Z

$k \in \mathbb{Z}$

k \neq 1

$k \neq 1$

X (t)

$X(t)$

Y (t)

$Y(t)$

\sin (k x)

$\sin(kx)$

\sin (x)

$\sin(x)$ 従って、ためのいくつかの多項式。

Y (t) = f (X (t))

$Y(t) = f (X (t))$

f

$f$

したがって、無相関信号であるにもかかわらず、とは独立していません。 $X(t)$ $Y(t)$

— ルウォルスト
ソース

のクロススペクトルが正確に何であるかについて詳しく説明していただけますか？ありがとうございました。

X_{x^{2}, Y} (f)

$X_{x^2, Y}(f)$

— スペイシー

en.wikipedia.org/wiki/Cross-spectrum ここで、信号と間のクロススペクトルを検討しています。

X^{2} (t)

$X^2(t)$

Y (t)

$Y(t)$

— rwolst