エルゴードと定常の違いは何ですか？

41

これら2つの概念を区別するのに苦労しています。これは私の理解です。

定常プロセスは、統計的特性が時間とともに変化しない確率的プロセスです。厳密な意味での定常プロセスの場合、これは、その同時確率分布が一定であることを意味します。広義の定常プロセスの場合、これはその1次モーメントと2次モーメントが一定であることを意味します。

エルゴードプロセスとは、分散などの統計的特性を十分に長いサンプルから推定できるプロセスです。たとえば、十分に長く平均すると、サンプル平均は信号の真の平均に収束します。

さて、エルゴード的であるためには、信号が静止している必要があるように思えます。

また、エルゴディックではなく、どのような信号が静止している可能性がありますか？
たとえば、信号がすべての時間で同じ分散を持っている場合、時間平均の分散がどのようにして真の値に収束しないのでしょうか？
それでは、これら2つの概念の本当の違いは何ですか？
エルゴード的でなくて静止しているプロセス、または静止していないでエルゴード的であるプロセスの例を教えてください。

random ergodic

— マット
ソース

あなたは見たいかもしれませんこの回答に関連する質問に。

— ディリップサルワテ

この講義では、エルゴード語は定常のサブセットであると文字通り綴ります。ウィキペディアで静止エルゴディックプロセスの記事が何をしているのか理解できません。それは非定常エルゴード過程があることを意味しますか？

— ヴァル

私はウィキペディアは言うが、私の答えの最後の部分は以下の通りですWSSプロセスの一例含まれていることを指摘するものを守るません@val ない静止した、まだあるエルゴード。

— ディリップサルワテ

33

ランダムプロセスは、検討中の各瞬間に1つずつ、ランダム変数のコレクションです。通常、これは連続時間（）または離散時間（すべての整数またはすべての時刻（はサンプル間隔））です。 $-\infty < t < \infty$ $n$ $nT$ $T$

定常性とは、ランダム変数の分布のことです。具体的には、定常処理で、全ての確率変数は、すべての正の整数を、より一般的に同一の分布関数を有し、及び時間瞬間、関節の分布確率変数は、の共同分布と同じです。つまり、すべての時刻をだけシフトしても、プロセスの統計的記述はまったく変化しません。プロセスは静止しています $n$ $n$ $t_1, t_2, \ldots, t_n$ $n$ $X(t_1), X(t_2), \cdots, X(t_n)$ $X(t_1+\tau), X(t_2+\tau), \cdots, X(t_n+\tau)$ $\tau$ 。
一方、エルゴード性は、ランダム変数の統計的特性ではなく、サンプルパス、つまり物理的に観察するものを調べます。ランダム変数に戻ると、ランダム変数はサンプル空間から実数へのマッピングであることを思い出してください。各結果は実数にマッピングされ、異なるランダム変数は通常、任意の結果を異なる数にマッピングします。そのため、サンプル空間で結果もたらした実験を実行し、この結果がプロセスのすべてのランダム変数によって（通常は異なる）実数にマッピングされていることを想像してください。具体的には、変数はをマッピングしました $\omega$ $X(t)$ $\omega$ 実数まで $x(t)$ として示す。番号 $x(t)$ の波形とみなし、あるサンプルに対応する経路 $\omega$ 、及び異なる結果は私達に異なったサンプルパスを与えます。次に、エルゴード性は、サンプルパスのプロパティと、これらのプロパティがランダムプロセスを構成するランダム変数のプロパティにどのように関連するかを扱います。

今、サンプル経路のための $x(t)$ から定常プロセス、我々は計算することができる時間を平均

\bar{バツ} = \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} バツ （ t ） d t

$\bar{x} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$ はなく、何をん

\bar{x}

$\bar{x}$ 関連してい

μ = E [X (t)]

$\mu = E[X(t)]$ 、平均ランダムプロセスの？（使用する

t

$t$ 値は問題ではないことに注意してください。すべての確率変数は同じ分布を持っているため、同じ平均を持っています（平均が存在する場合））。OPが言うように、プロセスがエルゴード的で静止している場合など、サンプルパスが十分に長く観察されると、サンプルパスの平均値またはDC成分はプロセスの平均値に収束します。 2つの計算の結果を接続し、そのをアサートする

\underset{T \to \infty}{リム} \bar{バツ} = \underset{T \to \infty}{リム} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} バツ （ t ） d t

$\lim_{T\to \infty}\bar{x} = \lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) \,\mathrm dt$

等しい そのような等式が成立するための方法はあると言われている平均エルゴード、その自己相関関数場合、プロセスは平均エルゴードある性質を有する：

μ = E [バツ （ t ）] = \int_{- \infty}^{\infty} あなたは f_{バツ} （ あなたは ） d あなたは 。

$\mu = E[X(t)] = \int_{-\infty}^\infty uf_X(u) \,\mathrm du.$

C_{X} (τ)

$C_X(\tau)$

\underset{T \to \infty}{リム} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} C_{バツ} （ τ ） d τ = 0。

$\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T C_X(\tau) \mathrm d\tau = 0.$

したがって、すべての定常プロセスが平均エルゴード的である必要はありません。しかし、エルゴード性には他の形態もあります。たとえば、自己共分散エルゴードプロセスの場合、有限セグメントの自己共分散関数（たとえば、サンプルパスは、プロセスの自己共分散関数に収束します。 as。プロセスがエルゴード的であるという包括的な文は、さまざまな形式のいずれかを意味する場合もあれば、特定の形式を意味する場合もあります。 $t\in (-T, T)$ $x(t)$ $C_X(\tau)$ $T\to \infty$

2つの概念の違いの例として、検討中のすべてのに対してと仮定します。ここで、は確率変数です。これは定常プロセスです。各は同じ分布（つまり、の分布）、同じ平均、同じ分散などを持ちます。各とは、同じジョイント分布を持ちます（ただし、縮退しています）。しかし、各サンプルパスは定数であるため、プロセスはエルゴード的ではありません。具体的には、実験の試行（あなたまたは上司によって実行された）の結果が $X(t) = Y$ $t$ $Y$ $X(t)$ $Y$ $E[X(t)] = E[Y]$ $X(t_1)$ $X(t_2)$ $Y$ 値が場合、この実験結果に対応するランダムプロセスのサンプルパスの値はすべてのに対してになり、サンプルパスのDC値はではなくになり、どの程度長く（退屈な）サンプルパスを観察しても。パラレルユニバースでは、試行の結果はなり、そのユニバースのサンプルパスの値はすべてのに対してになります。このような自明性を定常プロセスのクラスから除外する数学的な仕様を記述することは容易ではないため、これはエルゴード的ではない定常ランダムプロセスの非常に最小限の例です。 $\alpha$ $\alpha$ $t$ $\alpha$ $E[X(t)] = E[Y]$ $Y = \beta$ $\beta$ $t$

定常的ではないがエルゴード的であるランダムなプロセスが存在する可能性はありますか？まあ、N0は、いない場合は、エルゴードによって、私たちが考えることができるすべての可能な方法のいずれかでエルゴード意味：例えば、我々が測定した場合に端数サンプルパスの長のセグメント間の時間の最大で値を持つ、これは適切な推定値です。プロセスが想定される場合、でのの（共通）CDFの値分布関数に関してエルゴード的である。 しかし、私たちはランダムなプロセスを持つことができます $x(t)$ $\alpha$ $P(X(t) \leq \alpha) = F_X(\alpha)$ $F_X$ $X(t)$ $\alpha$ 静止ではないが、それでも平均-エルゴードおよび自己共分散-エルゴードである。たとえば、プロセスを考えるここで 4に等しくありそうな値をとりと。各は離散確率変数であり、一般に、4つの同等の可能性のある値を取るおよび、一般的におよび $\{X(t)\colon X(t)= \cos (t + \Theta), -\infty < t < \infty\}$ $\Theta$ $0, \pi/2, \pi$ $3\pi/2$ $X(t)$ $\cos(t), \cos(t+\pi/2)=-\sin(t), \cos(t+\pi) = -\cos(t)$ $\cos(t+3\pi/2)=\sin(t)$ $X(t)$ $X(s)$ 分布が異なるため、プロセスは一次定常でさえありません。一方、間、ごとに要するに、プロセスの平均はゼロであり、その自己相関（および自己共分散）関数は時間差のみに依存するため、プロセスは

E [バツ （ t ）] = \frac{1}{4} \cos （ t ） + \frac{1}{4} （ - 罪 （ t ） ） + \frac{1}{4} （ - \cos （ t ） ） + \frac{1}{4} 罪 （ t ） = 0

$E[X(t)] = \frac 14\cos(t)+ \frac 14(-\sin(t)) + \frac 14(-\cos(t))+\frac 14 \sin(t) = 0$

t

$t$

\begin{aligned} E [バツ （ t ） バツ （ s ）] & = \frac{1}{4} [\cos （ t ） \cos （ s ） + （ - \cos （ t ） ） （ - \cos （ s ） ） + 罪 （ t ） 罪 （ s ） + （ - 罪 （ t ） ） （ - 罪 （ s ） ）] \\ = \frac{1}{2} [\cos （ t ） \cos （ s ） + 罪 （ t ） 罪 （ s ）] \\ = \frac{1}{2} \cos （ t - s ） 。 \end{aligned}

$\begin{align} E[X(t)X(s)]&= \left.\left.\frac 14\right[\cos(t)\cos(s) + (-\cos(t))(-\cos(s)) + \sin(t)\sin(s) + (-\sin(t))(-\sin(s))\right]\\ &= \left.\left.\frac 12\right[\cos(t)\cos(s) + \sin(t)\sin(s)\right]\\ &= \frac 12 \cos(t-s). \end{align}$

t - s

$t-s$ 広義の静止。しかし、それは一次定常ではないため、高次でも定常であってはなりません。ここで、実験が実行され、の値がわかっている場合、に等しいDC値を持つまたはいずれかでなければならないサンプル関数を取得します、及びその自己相関関数である、同じ、この処理はそうであることは全く静止していないにもかかわらず、平均エルゴード自己相関-エルゴード。最後に、プロセスは分布関数に関してエルゴード的ではないことに注意します

Θ

$\Theta$

\pm \cos (t)

$\pm \cos(t)$

\pm \sin (t)

$\pm \sin(t)$

0

$0$

0

$0$

\frac{1}{2} \cos (τ)

$\frac 12 \cos(\tau)$

R_{X} (τ)

$R_X(\tau)$ 、つまり、あらゆる点でエルゴード的とは言えません。

— ディリップ・サルワテ
ソース

1

例を理解できませんでした。Yが定数であると言う場合、x（t）のパスは定数です。定数の平均はそれ自体であるため、E [X（t）] = E [Y] = Yです。何か見逃していない限り。

— -Royi

意味を明確にするためにいくつかの単語を追加しました。は定数ではなく、ランダム変数です。実験の試行でのその値は、と同じである必要はありません。

Y

$Y$

E [Y]

$E[Y]$

— ディリップサルワテ

1

信号がエルゴード的である場合、つまり時間平均はアンサンブル平均に収束しますが、プロセスが静止していないためにさまざまなの平均が異なる場合、時間平均が収束するアンサンブル平均の定義は何ですか？

X

$X$

— ディリップサルワテ

1

@Matt「通信システム」の解決策で、サイモン・ヘイキンは、「ランダムなプロセスがエルゴード的であるためには、静止していなければならない」と書いています

— ロニー島

1

@ColinHicksはい、それは私の回答のタイプミスであり、すぐに修正します。私の注意を引いてくれてありがとう。

— ディリップサルベート

6

サンプル関数がDC値であり、互いに異なる仮想のランダムプロセスを考えてみましょう。

X ₁（t）=定数= X ₁（t）の平均

X ₂（t）=定数= X ₂（t）の平均

$X_1(t)$ $X_2(t)$ $X(t_1)$ $X(t_2)$

したがって、集団平均は一定です。 $X(t)$

このアンサンブル平均は、との時間平均とは確かに等しくありません（それら自体は等しくありません）。これは定常と呼ぶことができますが、エルゴード的プロセスとは言えません。 $X_1(t)$ $X_2(t)$

対照的に、、はRVです。 $X(t)=Acos(\omega t+\theta)$ $\theta$

— 総屋
ソース

2

16:55のこのビデオ（フロリダ工科大学。コミュニケーション理論のクラスでイビカコスタニック博士による「広義の静止、厳密な感覚、エルゴード信号とは何ですか」というタイトルが付けられています）

— user8162
ソース

DSP.SEへようこそ！いつか削除されてリンクが無効になる場合に備えて、動画に名前と説明を追加することをお勧めします。ありがとうございました。

— lennon310 14年

1

エルゴードプロセスは、時間平均の代わりにエルゴード平均を使用できるプロセスです。

実際の平均、分散などは、時間の経過や平均化などのプロセスに従って定義されます。たとえば、私のサイズの平均を知りたい場合は、生まれたときから平均化する必要があります。私が死ぬときまで。明らかに後の例は定常的なプロセスではありません。

エルゴード的な平均とは、時間の経過とともに私のサイズを追跡する代わりに、時間を凍結し、異なる個々の人間のサンプルを平均することです。これらの2つの手段が同じである理由はないため、私の規模のプロセスはエルゴード的ではありません。

$\bar{V^2}$ $\left< V^2 \right>$ $t$

$\bar{V^2}$ $\left< V^2 \right>$

エルゴード仮説は、一般的なケースでは偽です。

— ジャン=イヴ
ソース

1

この答えがわかりません。Jolowのサイズのプロセスは定常的でもエルゴード的でもありませんが、OPはエルゴード的ではない定常的プロセスがあるのではないかと考えていました。答えは本質的に、一般的にエルゴード仮説は偽であり、サンプル平均がアンサンブル平均と異なることは普遍的に真実であるということですか、それに慣れてそれと一緒に生きるのですか？

— ディリップサルワテ

@DilipSarwate：再読した後、それは質問に答えない悪い答えであり、私はそれを削除することを検討しています。質問は、より統計についてだったのに対し、私は、私の熱力学の講義を思い出させていた...

— ジャン=イヴ

@DilipSarwateジョロウのサイズは？

— Roney島

1

@MichaelCorleoneジョロウへの言及が何を意味するのか覚えていません。私の推測では、Jean-Yvesはnom-de-plume Jolowの下で彼の答えを投稿し、私はその名前を私の答えで使用し、それから彼はスタック交換のユーザー名としてJean-Yvesを使用することに決めたと思います。このような名前の変更は、画面に表示されるものに反映されますが、回答の編集としては記録されません。

— ディリップサーワテ

@DilipSarwate：あなたは確かに正しいです。ジョロウは私のニックネームです。

— ジャン=イヴ・

1

逆の場合の例（つまり、エルゴード的ではあるが定常的ではないランダムなプロセス）については、決定論的な方形波によって振幅変調されたホワイトノイズプロセスを考えます。すべてのサンプル関数の時間平均はゼロに等しく、すべての時間にわたるアンサンブル平均も同様です。そのため、プロセスはエルゴード的です。ただし、個々のサンプル関数の分散は、時間に対する元の方形波依存性を示しているため、プロセスは定常的ではありません。

この特定の例は広義の静止であるが、まだエルゴード的であるが広義の静止でさえない関連例を作成することができる。

— 教授マーク
ソース

0

私が理解しているように、以下の例はエルゴード的で定常的なプロセスを示しています

 X1 X2 X3  | mean var ...
 1  2  3   | 2    1
 2  3  1   | 2
 3  1  2   | 2
 ----------

平均2 2 2 var 1

すべての列の平均と分散は時間に沿って一定であり、すべての行の平均と分散は時間に沿って一定であるため

— TPArrow
ソース