ギブス現象の数学的な説明

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矩形波、のこぎり波など、どこでも微分可能でない信号を構築する文脈でフーリエ級数がどのように機能するかを誰かに説明していました。実際、話が進むにつれて、誰もがそれが周期的な信号の無限のシリーズの実際の数学的特性であり、計算のまぐれではないことに気づいたわけではなく、ほとんどの証拠はかなり面倒で精巧であることがわかります。

それらのいくつかを読んだ後、そのような現象が発生する理由を理解し始めましたが、実際の複雑な分析やトポロジーなどの背景があります。問題は、アーセナルに基本的な学部の微積分コース（または学部の信号処理コースのその他の一般的な前提条件）だけを持っている人に、ギブズ現象を数学的に完全に説明し、厳密に証明できるかどうかです。もしそうなら、どのように？

fourier-series gibbs-phenomenon

— フォノン
ソース

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私見、ギブズ現象に関するウィキペディアの記事は実際には非常によく書かれています。それはあなたが探しているものですか、何か他のものが必要ですか？en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon

— ヒルマー

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私はいつもこの現象が魅力的だと感じました。有限長に切り捨てられたフーリエ級数に関するさらに驚くべき詳細の1つは、合計の項の数を増やすと、ギブス振動が時間とともに圧縮されますが、オーバーシュートの大きさは一定であることです。ずいぶん前に、私は学部課程でその理由を説明してくれましたが、書き留めたとは思いません。

— ジェイソンR

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プリンストン大学出版局のP.ナヒンによる「オイラー博士のすばらしい式：多くの数学の病気を治す」という本は、大学レベルの数学の学歴を持つ人に適したギブズ現象の説明につながっています。

— hotpaw2
ソース

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つまり、このレベルでの適切な厳密な説明は、1つまたは複数の本の長さの章よりも短くない場合があります。

— hotpaw2

この本には、（ウィルブラハム-）ギブス現象が何であるかの説明と、その発見の歴史に関する興味深い議論が含まれているようですが、説明や派生はありません。たぶん私はそれを見逃したかもしれませんが、その場合は誰かがセクションやページ番号の参照を与えることができますか？

— マックスM

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sinとcosは常に円形であり、引数の頻度に関係なく鋭いエッジの形を持たないため、長方形を描くために無限大を取得する必要があるのはいつでも言うことができます:)

— 0x90
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