関数のサンプルからのテイラー級数係数の推定

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いくつかのノイズを含むでサンプリングされた関数測定値があるとします。これは、テイラー級数展開で近似できます。私の測定からその拡張の係数を推定するための受け入れられた方法はありますか？ $y = y(x)$ $x_i$

データを多項式に適合させることもできますが、それは正しくありません。テイラー級数の場合、x = 0のように中心点に近づくほど近似が良くなるためです。多項式を適合させるだけで、すべての点が等しく扱われます。

拡張点での微分のさまざまな次数を推定することもできますが、どの微分フィルターを使用するか、およびそれぞれにいくつのフィルター係数を使用するかを決定する必要があります。異なる派生物のフィルターはどういうわけか一緒に合わせる必要がありますか？

それで誰かがこれのために確立された方法を知っていますか？論文の説明や参照をいただければ幸いです。

明確化

以下のコメントに応じて、私のサンプリングは無限関数からの長方形のウィンドウであり、必ずしも帯域制限されているわけではありませんが、強い高周波成分はありません。具体的には、推定器のパラメーター（基になる組織の変形またはひずみのレベル）の関数として、推定器の分散（医療用超音波信号の変位を測定）を測定しています。変形の関数としての分散の理論的なテイラー級数があり、シミュレーションから得られるものと比較したいと思います。

同様のおもちゃの例は次のようになります：ノイズが追加されたxの間隔でサンプリングされたln（x）のような関数があるとします。あなたはそれが本当に何の関数かわからないので、x = 5の周りのテイラー級数を推定したいとします。したがって、関数は滑らかで、関心のあるポイントの周囲の領域でゆっくり変化します（たとえば、2 <x <8）。ただし、領域の外側では必ずしも良いとは限りません。

答えは役に立ちました、そしてある種の最小二乗多項式フィットはおそらく取るためのルートです。ただし、推定されるテイラー級数が通常の多項式近似と異なるのは、高次の項を削り落とし、多項式を元の関数に近似させることができることです。これは、初期点の小さい範囲内にあります。

したがって、おそらく、アプローチは、初期点に近いデータのみを使用して線形多項式近似を実行し、その後、さらに多くのデータを使用して2次近似を実行し、それより少し多くを使用して3次近似などを実行することになります。

noise estimators approximation

— マット
ソース

いくつかの質問（関連する場合とそうでない場合があります）：サンプリングされたということは、関数が特定のFs / 2周波数以下に帯域制限されていることを意味しますか？サンプルは、無限関数、繰り返し関数、または完全な関数の長方形ウィンドウですか？

— hotpaw2 2012年

Dilipが彼の回答で指摘したように、テイラー級数展開を使用するには、すべてのサンプルポイントでの関数の導関数の知識が必要です。理論式を

導関数に利用できると思いますが、これにより、独立したシミュレーションを使用して理論を確認することの有用性が多少低下します。高次の項に関してテイラー級数の動作を最もよくエミュレートするには、異なる次数の多項式近似を使用して、提案したようなアプローチが役立つ場合があります。

y (x)

$y(x)$

— Jason R

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正確な多項式近似の代わりに、最小二乗近似を使用できます。これは、近似と測定されたペア間の合計二乗誤差を最小化する、指定された次数の多項式を見つけます。これは、フィットに対するノイズの影響を緩和するのに役立ちます。 $(x_i,y_i)$

与えられた測定値は、関数ののドメイン値では、（、多項式オーダーを選択）（あれば、その後、あなたは正確にダウンしています点は次の多項式を一意に決定するため、多項式フィッティング。次に、目的の多項式係数線形である連立方程式を設定します。 $y_i$ $y = f(x)$ $x_i$ $i = 0, 1, \ldots , N$ $M \le N$ $M = N$ $N$ $M$ $p_k$

y_{i} = p_{M} x_{i}^{M} + p_{M - 1} x_{i}^{M - 1} + \dots + p_{1} x_{i} + p_{0}, i = 0, 1, \dots, N

$y_i = p_Mx_i^M + p_{M-1}x_i^{M-1} + \ldots + p_1x_i + p_0, \;\;\;\;\;i = 0, 1, \ldots , N$

最小二乗問題は、測定値を行列ベクトル形式に整理することで解決できます。

A = [\begin{array}{cc} x_{0}^{M} & x_{0}^{M - 1} & \dots & x_{0} & 1 \\ x_{1}^{M} & x_{1}^{M - 1} & \dots & x_{1} & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{N}^{M} & x_{N}^{M - 1} & \dots & x_{N} & 1 \end{array}], y = [\begin{array}{cc} y_{0} \\ y_{1} \\ ⋮ \\ y_{N} \end{array}]

$\mathbf{A} = \left [ {\begin{array}{cc} x_0^M & x_0^{M-1} & \cdots & x_0 & 1 \\ x_1^M & x_1^{M-1} & \cdots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_N^M & x_N^{M-1} & \cdots & x_N & 1 \end{array} } \right ], \;\;\mathbf{y}= \left [ {\begin{array}{cc} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_N \end{array} } \right ]$

$\left[p_M, p_{M-1}, \ldots , p_0\right]$

\tilde{p} = (A^{T} A)^{- 1} A^{T} y

$\mathbf{\tilde p} = (\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^Ty}$

$(\mathbf{A^TA})^{-1} \mathbf{A^T}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{\tilde p}$ $x$

— ジェイソンR
ソース

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等間隔の横座標の場合、これはデータにSavitzky-Golay平滑化を適用することと同じです。

良い答えはプラス1です。LSEは確かに非常にユビキタスです。

— Tarin Ziyaee 2013

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ここではノイズを無視します。

$n+1$ $(x_i,y_i)$ $x_i$ $f(x)$ $n$ $y=g(x)$ $g(x)$ $e^x$ $(x+a)/(x+b)$ $g(x)$ $g(x)$ $x=0$ $g(0)$ $g^{(k)}(x) = \frac{\mathrm d^kg(x)}{\mathrm dx^k}, k=1,2,\ldots$ $x=0$ $g(x)$ $n+1$ $x_i$ $x_i = 0$ $i$ $g(0)$ $g^{(k)}(0)$ $k=1, 2, \ldots$

$g(x)$ $x=0$ $g(x_i)$ $h(x)=\sum_k h_kx^k$ $g^{(k)}(0)$ $h^{(k)}(0) = k!h_k$

$n+1$ $(x_i,g(x_i))$ $g(x)$ $g(x)$ $n$ $h(x)$ $n+1$

$x_i$ $0$ $x_i$ $m < n$ $x=0$ $0$ $0$ $0$

$3$ $(-1,y_{-1}), (0,y_0), (1,y_1)$

\begin{aligned} f (x) & = y_{- 1} \frac{x (x - 1)}{2} - y_{0} (x^{2} - 1) + y_{1} \frac{x (x + 1)}{2} \\ = y_{0} + \frac{y_{1} - y_{- 1}}{2} x + \frac{y_{1} - 2 y_{0} + y_{- 1}}{2} x^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} f(x) &= y_{-1}\frac{x(x-1)}{2} -y_0(x^2-1) + y_{1}\frac{x(x+1)}{2}\\ &= y_0 + \frac{y_1-y_{-1}}{2}x + \frac{y_1-2y_0 + y_{-1}}{2}x^2 \end{align*}$

x

$x$

x^{2}

$x^2$

g (x)

$g(x)$

g (- 1) = y_{- 1}, g (0) = y_{0}, g (1) = y_{1}

$g(-1) = y_{-1}, g(0) = y_0, g(1)=y_1$

— ディリップ・サルワテ
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